Рациональные уравнения и неравенства

Рациональные уравнения и неравенства

Каршиев Егор Аликович стр. 1 20.06.98Ё

Содержание

I. Рациональные уравнения.

1) Линейные уравнения.

2) Системы линейных уравнений.

3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

4) Возвратные уравнения.

5) Формула Виета для многочленов высших степеней.

6) Системы уравнений второй степени.

7) Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем

уравнений.

8) Однородные уравнения.

9) Решение симметрических систем уравнений.

10) Уравнения и системы уравнений с параметрами.

11) Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

12) Уравнения, содержащие знак модуля.

13) Основные методы решения рациональных уравнений

II. Рациональные неравенства.

1) Свойства равносильных неравенств.

2) Алгебраические неравенства.

3) Метод интервалов.

4) Дробно-рациональные неравенства.

5) Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

6) Неравенства с параметрами.

7) Системы рациональных неравенств.

8) Графическое решение неравенств.

III. Проверочный тест.

Рациональные уравнения

Функция вида

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an,

где n — натуральное, a0, a1,…, an — некоторые действительные числа,

называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция,

называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,

где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые

рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x)

— многочлены (Q (x) ( 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и

проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) ( 0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные,

называется линейным уравнением.

Если a(0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b

/a.

Если a=0; b(0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b,

легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти

координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены

и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ответ: (.

Пример 1.3. Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

-4x + 4x = 9 – 9,

0x = 0.

Ответ: Любое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,

где a1, b1, … ,an, b —некоторые постоянные, называется линейным

уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в

систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны

следующие три случая:

1) система не имеет решений;

2) система имеет ровно одно решение;

3) система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки,

который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно

неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого

неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это

выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

x = (8 – 3y) / 2,

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого

уравнения x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример 2.5. Решить систему уравнений

x + y = 3,

2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не

могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из

второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений

x + y = 5,

2x + 2y = 10.

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе

уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть

всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

- x + 6y + z = 5.

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться

методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному

виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный

результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение

можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим,

получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

y – 2z = 1,

y = 1.

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1

и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид

0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

Ответ: 3.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа

(a(0); x — переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a — от этого

его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2) – (b / 2a)2 +

(c / a) =

= (x + (b / 2a))2 – (b2) / (4a2) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((b2 –

4ac) / (4a2)).

Для краткости обозначим выражение (b2 – 4ac) через D. Тогда полученное

тождество примет вид

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2)).

Возможны три случая:

1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D

квадратный корень и записать D в виде D = ((D)2. Тогда

D / (4a2) = ((D)2 / (2a)2 = ((D / 2a)2, потому тождество принимает

вид

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((D / 2a)2.

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – ((D / 2a))(x + (b / 2a) +

((D / 2a)) =

= (x – (( -b + (D) / 2a)) (x – (( – b – (D) / 2a)).

Теорема: Если выполняется тождество

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 при X1 ( X2 имеет два корня

X1 и X2, а при X1 = X2 — лишь один корень X1.

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что

уравнение

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X1=(-b + ( D) / 2a; X2= (-b - ( D) / 2a.

Таким образом x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b2 – 4ac = D.

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))

принимает вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2.

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет

один корень кратности 2: X1 = – b / 2a

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а

другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax2 + bx +

c = 0.

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить

дискриминант

D = b2 – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X1=(-b + (D) / (2a); X2= (-b - (D) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное

уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ( 0; c / a <0; X1,2 = (((-c / a )

2) b ( 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax2 + bx + c = 0 находятся

по формуле

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называется

приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x2 + px + q = 0.

Корни приведённого квадратного уравнения обычно находятся по формуле

Теорема Виета.

Мы вывели тождество

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

где X1 и X2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c =0. Раскроем

скобки в правой части этого тождества.

x2 + (b / a)x + (c / a) = x2 – x1x – x2x + x1x2 = x2 – (x1 + x2)x

+x1x2.

Отсюда следует, что X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a. Мы доказали

следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом

(1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна

коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на

коэффициент при X2; произведение корней этого уравнения равно свободному

члену, делённому на коэффициент при X2.

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства

X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a,

то числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c

= 0.

Замечание. Формулы X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a остаются

верными и в случае, когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень X1

кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X1. Поэтому принято

считать, что при D = 0 уравнение ax2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих

друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать

соотношения

(1 / X1) + (1/ X2)= ( X1 + X2)/ X1X2 ;

X12 + X22 = (X1 + X2)2 – 2 X1X2;

X1 / X2 + X2 / X1 = (X12 + X2 2) / X1X2 = ((X1 + X2)2 – 2X1X2) / X1X2;

X13 + X23 = (X1 + X2)(X12 – X1X2 + X22) =

= (X1 + X2)((X1 + X2)2 – 3X1X2).

Пример 3.9. Решить уравнение 2x2 + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X1 = (- 5 + (33) / 4; X2 = (- 5 -(33) / 4.

Ответ: X1 = (- 5 + (33) / 4; X2 = (- 5 -(33) / 4.

Пример 3.10. Решить уравнение x3 – 5x2 + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x2 – 5x +

6) = 0,

отсюда x = 0 или x2 – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X1 = 2 , X2 = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x3 – 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x3 – x – 2x

+ 2 = 0, а теперь группируем

x(x2 – 1) – 2(x – 1) = 0,

(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,

x – 1 = 0, x1 = 1,

x2 + x – 2 = 0, x2 = – 2, x3 = 1.

Ответ: x1 = x3 = 1, x2 = – 2.

Пример 3.12. Решить уравнение

7(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)

Решение. Найдём область допустимых значений x:

X + 2 ( 0; x – 6 ( 0; 2x – 7 ( 0 или x ( – 2; x ( 6; x ( 3,5.

Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x2 – 4x

– 12), раскрываем скобки.

7x3 – 49x2 + 84x – 14x2 + 98x – 168 + 4x3 – 16x2 – 48x – 14x2 + 56x +

168 = 0,

11x3 – 93x2 + 190x = 0,

x(11x2 – 93x + 190) = 0,

x1 = 0

11x2 – 93x + 190 = 0,

93(((8649 – 8360) 93 ( 17

x2,3 = = ,

22 22

т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x6 – 5x3 + 4 = 0

Решение. Обозначим y = x3, тогда исходное уравнение принимает вид

y2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений: x3 = 1 или x3 = 4, т. е. X1 = 1 или X2 = 3(4

Ответ: 1; 3(4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x3 – 27) / (x – 3) = 27

Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности

кубов):

(x – 3)(x2 + 3x + 9) / (x – 3) = 27 . Отсюда:

x2 + 3 x + 9 = 27,

x – 3 ( 0;

x2 + 3 x – 18 = 0,

x ( 3.

Квадратное уравнение x2 + 3 x – 18 = 0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6

(X1 не входит в область допустимых значений).

Ответ: -6

Пример 3.15. Решить уравнение

(x2 + x –5) / x + (3x) / (x2 + x – 5) = 4.

Решение. Обозначим y= (x2 + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y +

3 / y = 4.

Преобразуем его: y + 3 / y – 4 = 0, (y2 – 4y + 3) / y = 0, отсюда

y2 – 4y + 3 = 0,

y ( 0

Квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 имеет корни Y1 = 1; Y2 = 3 (оба

корня входят в область допустимых значений).

Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно)

совокупности уравнений

(x2 + x – 5) / x = 1 или (x2 + x – 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x2 + x – 5) / x – 1 = 0 или (x2 + x – 5) / x – 3 = 0;

x2 – 5 = 0,

x ( 0

или

x2 – 2x – 5 = 0,

x ( 0;

X1 = (5; X2 = – (5 или X3 = 1 + (6; X4 = 1 – (6

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: (5; – (5; 1 + (6; 1 – (6 .

Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.

Обозначим y = x2 + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или

y2 + 6y – 72 = 0.

Корни этого уравнения: Y1 = 6; Y2 = – 12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x2 + 5x = 6 или x2 + 5x = – 12.

Первое уравнение имеет корни X1 = 1; X2 = – 6. Второе уравнение корней

не имеет, так как D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

Пример 3.17. Решить уравнение 4x2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.

Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x2 + 1 / (x2)) + 12(x + 1 / x) =

47.

Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что

y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2),

отсюда x2 + 1 / (x2) = y2 – 2. С учётом этого получаем уравнение

4(y2 – 2) + 12y = 47, или 4y2 + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

2x2 – 5x + 2 = 0,

x ( 0

или

2x2 + 11x + 2 = 0,

x ( 0;

X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = ( - 11 + (105) / 4; X4 = ( -11 -

(105) / 4

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: 2; 0,5; ( - 11 + (105) / 4; (-11 - (105) / 4.

Пример 3.18. Решить уравнение x3 – x2 – 9x – 6 = 0.

Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. «Кандидатами»

в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа

(1, (2, (3, (6.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является

его корнем.

Разделим многочлен x3 – x2 – 9x – 6 на двучлен x + 2

x3 – x2 – 9x – 6 = (x + 2)(x2 – 3x – 3) = 0.

Решив теперь уравнение x2 – 3x – 3 = 0,

получаем X2 = (3 - (21) / 2, X3 = (3 + (21) / 2.

Ответ: x( {-2; (3 - (21) / 2; (3 + (21) / 2}.

Пример 3.19.

x3 – x2 – 8x + 6 = 0.

Решение. Здесь an = 1, a0 = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет

рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: (1, (2,

(3, (6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0.

Делим (x3 – x2 – 8x + 6) на (x – 3)

Получаем: x3 – x2 – 8x + 6 = (x – 3)(x2 + 2x – 2), т.е. данное

уравнение можно представить в виде (x – 3)(x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда

находим, что x1 = 3 — решение, найденное подбором, x2,3 = – 1 ( (3 — из

уравнения x2 + 2x – 2 = 0.

Ответ: x1 = 3; x2,3 = – 1 ( (3.

Пример 3.20.

4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1 = 0.

Решение. Здесь an = 4, a0 = –1. Поэтому рациональные корни уравнения

следует искать среди чисел: ( 1; ( 0,5; ( 0,25 (делители 4 есть (1; (2;

(4, делители (– 1) есть ( 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 – 3 – 1 (

0; если x = – 0,5, то

4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень

уравнения. Делим (4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1) на (x +

0,5):

Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x3 + 6x2 – 2x –

2) = 0.

Отсюда x1 = – 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x3 + 6x2 – 2x – 2

= 0, т.е. 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0. Аналогично находим

корень этого уравнения: x = – 0,5. Снова делим.

Имеем: (x + 0,5)(2x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда x2 = – 0,5 и x3,4 = (– 1 (

(5) / 2.

Ответ: x1 = x2 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ( (5) / 2.

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а

просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0

следует:

2x3 + 3x2 – x – 1 = 2x3 + x2 +2x2 + x – 2x – 1 = 2x2(x + 0,5) + 2x(x +

0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x2 + 2x – 2) = 0.

x1 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ( (5) / 2.

Возвратные уравнения.

Уравнение вида

anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных

позициях, равны, то есть если

an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ( 0. Его удобно решать с

помощью следующего алгоритма:

. разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит

потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при

a ( 0;

. группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;

. ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2

– 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at2 + bt + c – 2a = 0;

. решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие

утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое

меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1

и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на

двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому

по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В

результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов

возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся

решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь

отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то

Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень

исходного уравнения. «Кандидатов» в корни многочлена с целочисленными

коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого

многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы

избрали «не тот» метод решения, и существует иной метод, реализация

которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an

имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет

разложение на множители вида

a0xn + a1xn – 1 + … + an = a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn).

Разделим обе части этого равенства на a0 ( 0 и раскроем скобки.

Получим равенство

Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =

= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +

+ … + (-1)nx1x2…xn.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае,

когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что

выполняются равенства

x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,

x1x2 + x1x3 + … + xn – 1xn = a2 / a0,

x1x2( … (xn = (-1)nan / a0.

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются

квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда

по формулам Виета имеем

(1 = x1 + x2 +x3 = 3,

(2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,

(3 = x1x2x3 = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его

коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По

условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 и

поэтому

b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (x12 + x22 + x32),

b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,

b3 = – y1y2y3 = – x12x22x32 .

Но имеем

x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = (12 - 2(2 =

32 – 2(7 = – 5,

x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2

+x3)= (22 – 2(1(3 = = 72 – 2(3((– 5)= 79,

x12x22x32 = (x1x2x3)2 = (32 = 25.

Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет

вид

y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Системы уравнений второй степени.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени

удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение

во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также

способ замены переменных.

Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма

(x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя

значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 – 2x,

7x – 2x2 = 6.

Квадратное уравнение – 2x2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 /

2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4

= 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Решить систему уравнений

x + y + 2xy = 7,

xy + 2(x + y) = 8.

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений

a + 2b = 7,

b + 2a = 8

или

a = 7 – 2b,

b + 14 – 4b = 8.

Отсюда

a = 3,

b = 2.

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

x + y = 3,

xy = 2.

Решив эту систему:

x = 3 – y,

(3 – y)y = 2;

y2 – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) , (1; 2).

Пример 6.25. Решить систему уравнений

y2 – xy = 12,

x2 – xy = – 3.

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

y(y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x ( 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3

/ x, и подставив его в первое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3, откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

- 3x2 = – 3, X1 = 1; X2 = – 1, тогда Y1 = 4; Y2 = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16

м, а площадь равна 15 м2.

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По

условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и

ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения

системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это

значение во второе уравнение, получаем х(8 ( у) = 15, т.е. 8х ( х2 = 15

или

х2 ( 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = ((8)2 ( 4(1(15 = 64 ( 60 = 4,

Х1,2 = (8 ( (4) / 2 = (8 ( 2) / 2.

Значит, х1 = 5, х2 = 3. Поскольку у = 8 ( х, то получаем у1 = 3, а у2

= 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон

которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х2 ( 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее,

используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у

равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями

уравнения z2 ( 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными.

Если в одно из них какое(нибудь неизвестное входит лишь в первой степени,

то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и

подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится

уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого

неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример 6.27. Решим систему уравнений

2х + у = 11,

х2 + у2 = 53.

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 ( 2х. Подставляя это

значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 ( 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 ( 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 ( 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить

уравнение

5х2 ( 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = ((44)2 ( 4(5(68 = 1936 ( 1360 = 576,

Х1,2 = (44 ( 24) / 10.

Итак х1 = 6,8; х2 = 2, ( у1 = 11 ( 2(6,8 = (2,6; у2 = 11 ( 2(2 = 7.

Ответ: х1 = 6,8; у1 = (2,6; х2 = 2; у2 = 7.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем

уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые

неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х

для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при

решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) ( 3 / (х2 + 2х ( 2) =

1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к

одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы

умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби

входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у,

положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид

12 / у ( 3 / (у ( 2) = 1 или (у2 ( 11у + 24) / (у(у ( 2)) = 0,

откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его

корни х1 = 1, х2 = (3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4

= (4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его

полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной

и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени

неизвестного выше первой).

Пример 7.29. Решим систему уравнений

2 / х + 3 / у = 8,

5 / х ( 2 / у = 1.

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система

примет вид

2U + 3V = 8,

5U ( 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U

и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 ( 3V / 2, и подставляя

во второе: 5(4 ( 3V / 2) (2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1

и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)((x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 =

0, t1 = – 42; t2 = 40. Поэтому

x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 ( x1,2

( (.

x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.

Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.

Пример 7.31.

2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2

( 0, получим

2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.

2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т.е. x2 + 1 / x2

= t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = –

4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = –2 ( (3,

x + 1 / x = 2,5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Ответ: x1,2 = –2 ( (3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t

+ 1)4 = 16, т.е.

t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, или t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z ( 0,

тогда

z2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.

С учётом t2 = z ( 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда

t1 = –1; t2 = 1. Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = –

3.

Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.

Пример 7.33.

13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ( 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.

6t2 – 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0,

t1 = 1; t2 = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 ( x ( (.

2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.

Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.

Пример 7.34.

x4 – 2x3 + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части

уравнения x2:

x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0,75 = 0, т.е.

(x2 – x)2 – (x2 – x) – 0,75 = 0.

Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0,75 = 0, x1 = – 0,5; x2 = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x2 – x = – 0,5; x2 – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 ( x ( (.

x2 – x = 1,5; x2 – x – 1,5 = 0; x1,2 = (1 ( (7) / 2.

Ответ: x1,2 = (1 ( (7) / 2.

Пример 7.35.

x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a ( b)2 =

a2 ( 2ab + b2( ( a2 + b2 = (a ( b)2 + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))2 + 2x(9x / (9 + x) = 40, или

(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.

Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 =

2. Получаем два уравнения:

(x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ( (19,

(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, ( x (

(.

Ответ: x1,2 = 1 ( (19.

Однородные уравнения.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

8х2 ( 6ху + у2 = 0,

х2 + у2 = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ( 0.

В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а

числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы.

Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение

8х2 / у2 ( 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 ( 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U2 ( 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким

образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x

/ y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба

случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение

5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = ( 1; соответственно у1 = 2, у2 = ( 2. Во

втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = ((5 / 17), x4 =

(((5 / 17); соответственно y3 = 4((5 / 17), y4 = ( 4((5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение

относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих

слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум.

Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его

члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом

степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k

относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k.

Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не

является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно

неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать

многие задачи.

Пример 8.37. Решить систему уравнений

y2 ( xy = (12,

x2 ( xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если

умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе

уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 ( 10xy + 3x2 = 0,

являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2

и решим уравнение 7U2 ( 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x,

причём из второго уравнения системы следует, что x ( 0). Находим, что y = x

или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев

оба случая, найдём решения:

x1 = 7, y1 = 3; x2 = (7, y2 = (3.

Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = (7, y2 = (3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений

вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях

приводит к появлению «посторонних» корней — значений x и y, не

удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить,

подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы

обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x ( 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 ( 1)2.

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то

получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые

неизвестные U и V:

U = (x ( 1)2, V = (x + 1)2.

Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится

уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x ( 1)2 / (x + 1)2.

Решим вспомогательное уравнение

W2 ( 10W + 9 = 0.

Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения

(x ( 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x ( 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Из первого уравнения следует, что либо (x ( 1) / (x + 1) = 1, либо

(x ( 1) / (x + 1) = (1.

Из второго получаем, что либо (x ( 1) / (x + 1) = 3, либо (x ( 1) /

(x + 1) = (3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не

имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = ( 2, x3 = (0,5.

Ответ: x1 = 0, x2 = ( 2, x3 = (0,5.

Пример 8.39.

3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay2( + by(z( + cz2( = 0,

где a, b, c, ( — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x)

— некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2 (

0:

3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0.

Пусть (x + 1) / (x2 – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t2 = 0, т.е. t1 =

– 3; t2 = 0,5. Следовательно:

(x + 1) / (x2 – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 – x + 1; x2 – 3x

– 1 = 0; x1,2 = (3 ( (13) / 2,

(x + 1) / (x2 – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x2 + 3x – 3; 3x2 – 2x + 4

= 0; D = 4 – 48 < 0, ( x ( (.

Ответ: x1,2 = (3 ( (13) / 2.

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x

, y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида

P1 (x, y) = 0,

P2 (x, y) = 0,

где P1 (x, y) и P2 (x, y) — симметрические многочлены, полезной

оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что

любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от

U и V.

Пример 9.40. Решить систему уравнений

x2 + xy + y2 = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 ( xy = (x + y)2 ( xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V. Система примет вид:

U2 ( V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U ( 72 = 0 с корнями U1

= 8,U2 = (9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы

уравнений:

x + y = 8,

xy = 15,

x + y = ( 9,

xy = 32.

Система x + y = 8, имеет решения: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

xy = 15.

Система x + y = ( 9, действительных решений не имеет.

xy = 32.

Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

Пример 9.41. Решить систему

1 / x + 1 / y = 5,

1 / x2 + 1 / y2 = 13.

Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:

X = 1 / x, Y = 1 / y,

а затем U и V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.

Получается система:

U = 5,

U2 ( 2V = 13,

из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему

X + Y = 5,

XY = 6,

находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2,

y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x +

y, V = xy, получится система

U = 5V,

Страницы: 1, 2