Решение задач по прикладной математике

Решение задач по прикладной математике

МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Выполнил: ст-т гр. ЭБ - 241

Лебедев Н. В.

Проверил: профессор

Г. И. Королев

Рязань 2003 г.

Задание 1. Решите, используя формулу полной вероятности, формулу гипотез и

формулу Бернулли.

1. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит

бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых автомобилей как 3:2.

Вероятность того, что будет заправляться грузовой автомобиль, равна 0.1.

Для легковой автомашины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала

для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.

Решение.

Определим событие, вероятность которого надо посчитать. А - к бензоколонке

подъехал автомобиль.

Тогда гипотезы:

Н1- к бензоколонке подъехала грузовая машина.

Н2 - к бензоколонке подъехал легковой автомобиль

Р(Н1) = 3/(2+3) = 0.6;

Р(Н2) = 2/(2+3) = 0.4

По условию

Р(А/Н1)=0.1

Р(А/Н2)=0.2

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:

P(A)=Р(A|Н1)*Р(Н1)+Р(A|Н2)*Р(Н2)= 0.6 [pic] 0.1 + 0.4 [pic] 0.2 = 0.06 +

0.08 = 0.14

P(H2|A)=[ Р(A|Н2)*Р(Н2) ]/P(A) = 0.2 [pic] 0.4/ 0.14 ~ 0.57

2. Вероятность своевременной оплаты счетов шестью потребителями равна 0.8.

Найти вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не

более трех потребителей.

Решение.

«Оплатят не более трех потребителей», это значит, что возможны следующие

варианты событий:

счета оплатят 0 – потребителей,

1 - потребитель,

2 - потребителя,

3 – потребителя.

По формуле Бернулли найдем вероятность каждого из этих событий.

P_n(k) = C_n(k) [pic] pk [pic] (1-p)(n-k), где C_n(k) = [pic]

n = 6, p = 0.8

1. C_6(0) = [pic]= [pic]= 1

P_6(0) = C_6(0) [pic] 0.80 [pic] (1-0.8)(6-0) = 1 [pic] 1[pic] 0.26 =

0.000064

2. C_6(1) = [pic]= [pic]= 6

P_6(1) = C_6(1) [pic] 0.81 [pic] (1-0.8)(6-1) = 6 [pic] 0.8 [pic] 0.25 =

0.001536

3. C_6(2) = [pic]= [pic]= [pic] = 15

P_6(2) = C_6(2) [pic] 0.82 [pic] (1-0.8)(6-2) = 15 [pic] 0.64 [pic] 0.24 =

0.01536

4. C_6(3) = [pic]= [pic]= [pic] = 20

P_6(3) = C_6(3) [pic] 0.83 [pic] (1-0.8)(6-3) = 20 [pic] 0.512 [pic] 0.23

= 0.08192

P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 +

0.08192 = = 0. 09888 [pic]0.099 - вероятность того, что к установленному

сроку счета не оплатят не более трех потребителей.

Задание 2. Найти среднее квадратическое отклонение вариационного ряда.

X1 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

n1 1 8 23 39 21 6 2

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X вычисляется по

формуле ?x = [pic], где [pic][pic] – дисперсия случайной величины X.

[pic] = [pic]

[pic] - математическое ожидание случайной величины X.

[pic]800 [pic]1 + 1000 [pic] 8 + 1200 [pic] 23 + 1400 [pic] 39 + 1600 [pic]

21 + 1800 [pic] 6 + 2000 [pic] [pic] 2 = 139400

[pic] = (800 - 139400) [pic] 1 + (1000 - 139400) [pic] 8 +

(1200 - 139400) [pic] 23 + (1400 - -139400) [pic] 39 + (1600 - 139400)

[pic]21 + (1800 - 139400) [pic]6 + (2000 - 139400) [pic]2 =

= 19209960000 + 153236480000 + 439282520000 + 742716000000 +

398765640000 + + 113602560000 + 37757520000 = 1904570680000

?x = [pic][pic] 1380062

Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.

Для производства двух видов изделий используются три вида сырья, запасы

которого ограничены. Величины запасов приведены в матрице С. Нормы расхода

сырья каждого вида на каждое из двух изделий приведены в матрице А , где

строки соответствуют виду сырья, а столбцы – виду изделия. Прибыль от

реализации изделий указана в матрице P.

Составить план производства изделий так, чтобы предприятие получило

максимальную прибыль от их реализации.

5 9 7710

А = 9 7 C = 8910 P = ( 10 22

)

3 10 7800

Найдем производственную программу, максимизирующую прибыль L=10х1+22х2.

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу 5х1+9х2?7710.

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу 9х1+7х2 ?8910.

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу 3х1+10х2

?7800.

Имеем

5х1+9х2 ? 7710

9х1+7х2 ? 8910

3х1+10х2 ? 7800

где по смыслу задачи х1?0, х2?0.

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему

неравенств при помощи дополнительных неизвестных х3, х4, х5 заменим

системой линейных алгебраических уравнений

5х1+9х2+х3 = 7710

9х1+7х2+х4 = 8910

3х1+10х2+х5= 7800

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих

ресурсов, а именно

х3 – остаток сырья 1-го вида,

х4 – остаток сырья 2-го вида,

х5 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условию

неотрицательности

х1?0, х2?0, х3?0, х4?0, х5?0, надо найти то решение, при котором функция

L=10х1+22х2 будет иметь наибольшее значение.

Ранг матрицы системы уравнений равен 3.

5 9 1 0 0

А = 9 7 0 1 0

3 10 0 0 1

Следовательно, три переменные (базисные) можно выразить через две

(свободные), т. е.

х3 = 7710 - 5х1 - 9х2

х4 = 8910 - 9х1- 7х2

х5= 7800 - 3х1 - 10х2

Функция L = 10х1+22х2 или L - 10х1 - 22х2 = 0 уже выражена через эти же

свободные переменные. Получаем следующую таблицу.

Таблица 1.

|Базисные |Свободные |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |

|переменные |члены | | | | | |

| | | | | | | |

|х3 | |5 |9 |1 |0 |0 |

| |7710 | | | | | |

| |8910 |9 |7 |0 |1 |0 |

|х4 | | | | | | |

| |7800 |3 |10 |0 |0 |1 |

|х5 | | | | | | |

| |0 |-10 |-22 |0 |0 |0 |

|L | | | | | | |

Находим в индексной строке отрицательные оценки. Выбираем разрешающий

элемент.

В результате получаем следующую таблицу.

Таблица 2.

|Базисные |Свободные |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |

|переменные |члены | | | | | |

| | | | | | | |

|х3 | | |9 |1 |0 |0 |

| |7710 |5 | | | | |

|х4 | |1 |7/9 |0 |1/9 |0 |

| |990 | | | | | |

|х5 |7800 |3 |10 |0 |0 |1 |

|L |0 |-10 |-22 |0 |0 |0 |

Таблица 3.

|Базисные |Свободные |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |

|переменные |члены | | | | | |

| | | | | | | |

|х3 | |0 | |1 |-5/9 |0 |

| |2760 | |46/9 | | | |

|х1 |990 |1 |7/9 |0 |1/9 |0 |

|х5 |4830 |0 |69/9 |0 |-1/3 |1 |

|L |9900 |0 |-128/9 |0 |10/9 |0 |

Таблица 4.

|Базисные |Свободные |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |

|переменные |члены | | | | | |

| | | | | | | |

|х2 | |0 |1 |9/46 | |0 |

| |540 | | | |-5/46 | |

| |570 |1 |0 |-7/46 |9/46 |0 |

|х1 | | | | | | |

|х5 | |0 |0 |-3/2 |1/2 |1 |

| |690 | | | | | |

|L |17580 |0 |0 |128/46 |-10/23 |0 |

Таблица 5.

|Базисные |Свободные |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |

|переменные |члены | | | | | |

| | | | | | | |

|х2 | |0 |1 |-3/23 |0 |10/46 |

| |690 | | | | | |

| |300 |1 |0 |10/23 |0 |-81/46 |

|х1 | | | | | | |

| |1380 |0 |0 |-3 |1 |2 |

|х4 | | | | | | |

|L |18780 |0 |0 |34/23 |0 |20/23 |

Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, то это значит, что

мы получили оптимальную производственная программу:

х1 = 300, х2 = 690, х3 = 0, х4 = 1380, х5 = 0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х3=0;

Второго вида – х4=1380;

Третьего вида – х5=0

Максимальная прибыль Lmax=18780.