Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная работа № 43

на тему:

Решение смешанной задачи для уравнения

гиперболического типа методом сеток

Группа М-2136

Выполнил студент _______________________

Проверил преподаватель Воронова Лилия Ивановна

Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( (

2 u/ ( t2) = c 2 * ( ( 2u/ ( x2) (1). Задача состоит в отыскании

функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t ( T,

начальным условиям u(x,0) = f(x), ( u(x,0)/ ( t = g(x) , 0 ( x ( a и

нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ( ct приводит уравнение (1) к виду ( (

2 u/ ( t2) = ( ( 2u/ ( x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D =

(x,t) сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n,

tj = j* ((( , j = 0,1 ... , m, ( m = T и аппроксимируем уравнение (1) в

каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

t

T

j+1

j

j-1

0 i-1 i i+1

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные

производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j

( 2

h2

(4)

Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).

Полагая, что ( = ( / h , получаем трехслойную разностную схему

ui,j+1 = 2(1- ( 2 )ui,j + ( 2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2

... n. (5)

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные

условия, т.е. ( 1(t) ( 0, ( 2(t) ( 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0,

unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях

с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде

выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений

ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m .

Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j =

2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (

j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение

известно из начального условия ui0 = f(xi).

Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной

работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить (

u(x,0)/ ( t ( ( u( x, ( ) - u(x,0) )/ ( (6) , то ui1=ui0+ + (

(xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно

применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается

пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( ( +h2).

Невысокий порядок аппроксимации по ( объясняется использованием слишком

грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта ( < h. Это

означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении

решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к

каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема

обладает равномерной сходимостью, т.е. при h ( 0 решение разностной

задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.

Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h

в направлении x , появляется ограничение на величину шага ( по

переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения

величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной

t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.

Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения

сетки.

Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной

разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine

GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по

значениям решения с двух предыдущих слоев.

Входные параметры :

hx - шаг сетки h по переменной х;

ht - шаг сетки ( по переменной t;

k - количество узлов сетки по x, a = hn;

u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на

( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на

j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;

u3 - рабочий массив из k действительных чисел.

Выходные параметры :

u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из

j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из

( j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ... .

К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End

происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе

элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива

u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При

выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на

новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.

Порядок работы программы:

1) описание массивов u1, u2, u3;

2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая

условие Куранта;

3) присвоение начального значения решения элементам массива и

вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;

4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-

м слое ( k ( 2 ).

Пример:

1

0.5 0.5

Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными

концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные

скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с

шагом ( по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев

с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид

( ( 2 u/ ( t2) = ( ( 2 u/ ( x 2) , x ( [ 0 , 1 ] , t (

[ 0 , T ] ,

u ( x , 0 ) = f (x) , x ( [ 0 , a ], ( u(x,0)/ ( t = g(x) ,

x ( [ 0 , a ],

u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0, t ( [ 0 , 0.8 ],

( 2x , x ( [ 0 , 0.5 ] ,

f(x) = ( g( x ) = 0

( 2 - 2x , x ( [ 0.5 , 1 ] ,

Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по

t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.