Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

Глава 3. Функция нескольких переменных

§1. Основные понятия

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между

собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn

соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана

функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1,

x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что

записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а

переменная y - функцией от n переменных.

Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций

большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или

аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух

переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции - z.

[pic]

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре

чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в

соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется

значением функции f в точке (x,y).

Множество D называется областью определения функции.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат

точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом

аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора [pic], исходящего

из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух

переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы

z = f([pic]), причем аргументами функции являются координаты вектора [pic].

График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где

(x,y)(D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой

поверхности приводится на рисунке 1.

[pic]

Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания

(монотонности) функции двух переменных. Рассмотрим график некоторой функции

z=f(x,y), изображенный на рисун-ке 2. Из точки M(x,y) в плоскости X,Y

проведем два луча l1 и l2 , определяющих некоторые направления. Можно

говорить, что в точке M функция f в направлении l1 возрастает, а в

направлении l2 убывает. Это означает, что для любой точки M1 , лежащей на

луче l1 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M1) ( f(M).

Для любой точки M2 , лежащей на луче l2 достаточно близко к точке M,

выполняется неравенство f(M2) ( f(M).

Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является

изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в

которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания

или убывания.

Можно использовать другой подход. Пусть имеется функция z = f(x,y) c

графиком, представляющим собой некоторую поверхность.

[pic]

Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z=C (эта плоскость

параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z=C ). Спроектируем

линию пересечения этой плоскости с поверхностью z = f(x,y) на плоскость XOY

и получим так называемую линию уровня C функции z = f(x,y). Линия уровня

представляет собой множество всех точек в плоскости XOY, для которых

выполняется равенство f(x,y) = C. Придавая различные значения параметру C,

можно получить множество линий уровня функции f(x,y). Если для каждой линии

уровня указать соответствующее ей значение C, то получится топографическая

карта поверхности, представляющей собой график функции.

В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два

вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух

аргументов: Q1 и Q2 – количеств потребленных товаров A и B, соответственно:

TU = TU(Q1,Q2). (1)

Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q1,Q2) составляют семейство

кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф.

Чепурина М.Н. 1995, стр. 125).

Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M0(x0,y0) и M1(x1,y1).

Расстояние ( между этими точками рассчитывается по формуле

[pic]. (2)

Пусть ( - некоторое положительное число. (-окрестностью V( точки

M0(x0,y0) называется множество всех точек, координаты x,y которых

удовлетворяют неравенствам

[pic].

Очевидно, что (-окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса

( с выколотым центром.

Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если

существует такое положительное число ( , что из условия M(x,y) ( V( (x0,y0)

следует f(x,y) > f(x0,y0).

Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если

существует такое положительное число ( , что из условия M(x,y) ( V( (x0,y0)

следует: f(x,y) < f(x0,y0).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

[pic],

если для произвольного числа ( > 0 найдется такое число ( > 0, что для всех

точек M(x,y) из (-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство

|f(x,y) - A|<( .

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если

[pic].

Два последних определения фактически повторяют определения предела и

непрерывности в точке для функции одной переменной.

§2. Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0)

называется предел

[pic][pic],

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из

следующих символов:

[pic];[pic];[pic].

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y),

рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном

значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y

функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

[pic]=[pic].

[pic]

В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P,

перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P

пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как

показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к

линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции

z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной

производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной

по y.

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше,

для вычисления частной производной по x функции z = f(x,y) нужно положить

переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y

нужно считать константой переменную x.

Примеры. 1. [pic].

2. [pic]

Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором

множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные

несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

[pic].

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных

на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные

производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или

частными производными второго порядка и обозначаются zxx((, zyy((, zxy((

или [pic]. Согласно определению [pic]; [pic]. Последняя частная производная

второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго

порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся

переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная

zxy(( = (zx( )y( может не быть равной zyx(( = (zy( )x(. Однако существует

теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго

порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности

вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому

убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в

приведенных выше примерах 1 и 2.)

Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной

переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует

непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

[pic].

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX

и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на

1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой

функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по

обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности

точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как

f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0).

(Пример взят из книги О.С.Ивашева-Мусатова “Начала математического

анализа”).