Шпора по матану

Шпора по матану

1.Мн-во операций над мн-вами

Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.

Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов,

принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, A?B={2})

Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов,

принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5}

AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-

ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел явл.

Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во В, то разность В\А н-ся дополнением А

до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов универсального мн-

ва не принадлежащих мн-ву А.

2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней

Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во

рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел

(Cегмент: [a,b]=x Полунтервал: (a,b]=x [a,b)=x

[a,+?)=x (-?,a]=-?<x?aИнтервал: (a,b)=a<x<b

(a,+?)=x (-?,a)=x R=x=(-?,+?) ). Все эти мн-ва н-

ся промежутками a,b –концами промежутков. [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] –

конечные промежутки, остальные-бесконечные!

+можно взять из 3 вопроса

3.Грани числовых мн-в, св-во граней

Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для

любого х Х вып-ся неравенство с(х(х(с). Число с наз-ся верхн.(нижн.)

гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым

Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е.

наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и

обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не (. min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл.

верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х*

получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет

точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани (, док-во основано на непрерывности

мн-ва действит. Чисел.

4.Th о сущ. т.в.г. и т.н.г.

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет

точную верх(ниж) грань.

Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во

чисел, ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней

грани следует, что для любого х€Х и y€Y любого выполняется нер-во х?у. В

силу св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у

выполняется нер-во х?с?у. Из первого нер-ва следует, что число с

ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-

ва следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной

верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г

5.Числовые последовательности, действия над ними

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее

ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, …(1,2,3,n –внизу) наз-ся

числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие

данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . Над

числовыми последовательностями можно выполнять след. Арифметические

операции: произведение, сумма, разность, произведением на число, частное.

6.Огранич и неогранич пос-ти

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число

{xn} M(m) xn(M (n (xn(m (n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич.

сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т

хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству (xn(>А.

7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними

Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер

N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е.

((A>0)((N=N(A))((n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако

неограниченная пос-ть может и не быть б-б.

Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ? (сколь бы

малым мы его ни взяли) существует номер N=N(?) такой, что при всех n>N

выполняется нер-во |An|< ?, т.е. ((?>0)((N=N(?))( (n>N):|An|< ?

Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть

{1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть.

(следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м

пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение

ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

8.Понятие сходящихся постей, lim пости.

Опр Если для любого ( >0 найдется такой номер N, для любого n >N:(xn-a(< (

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся

расходящимися.

Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ.

N=N((), такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой (-

окрестности.

9.Основные св-ва сход. Постей

Теорема «Об единственности пределов»

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от

противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а(b. Тогда согласно определению

пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за

исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность

в точке b. Возьмем два радиуса (= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не

пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с

некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Пусть посл-ть {xn}(а ( >о N:(n>N(xn-a(<( эквивалентна а-(<xn<a+( (n>N =>

что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству(xn(( c = max {(a-

((,(a+((,(xn(,…,(xn-1(}

Теорема «Об арифметических дейсьвиях»

Пусть посл-ть {xn}(a,{yn}(b тогда арифметические операции с этими посл-тями

приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b

б) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b

в) предел lim(n(()(xn/yn)=a/b, b(0

Док-во: а)xn(yn=(а+(n)((b+(n)=(a(b)+((n((n) Правая часть полученная в

разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой

части xn+yn имеет предел равный a(b. Аналогично др. св-ва.

б) xn(yn=(а+(n)((b+(n)=ab+(nb+a(n+(n(n

(n(b – это произведение const на б/м

а((n(0, (n(n(0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа а(b+ б/м посл-ть. По т-ме О

связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn(yn сводится к a(b

10. Предельный переход в нер-вах.

11. Монотонные пос-ти

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;

неубывающей, если x1(x2(…(xn(xn+1(…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…;

невозр., если x1(x2(…(xn(xn+1(…

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго

монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие

ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

12. Число е

Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .

Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но

явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается

символом е(2,7128…

Док-ем формулу lim(n->?)(1+1/n)^n(в степени n)=е

yN=[pic]; zN=yN +[pic]

1) yN монотонно растет

2) yN<zN

3) zN-yN>0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN +[pic] - yN+1 -[pic]= [pic]+[pic]-[pic]=[pic]

2=y1<yN<zN<z1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN<e<zN = yN

+ 1/(n*n!)

Если через ?? обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то

можно записать e - yN = ??/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением

получаем e = yN + ??/(n*n!), ??(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, m?Z, n?N

m/n = e = yN + ??/(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + ??/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)?Z, (??/n)?Z => противоречие

13. Th о вложенных промежутках

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков

[a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]([an,bn], (n=1,2,…;

2) Длины отрезков (0 с ростом n, т.е. lim(n(()(bn-an)=0. Посл-ть с

указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с

принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех

отрезков к которой они стягиваются.

14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация

15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на

бесконечности

16. Th о пределе ф-ии

17. Первый замечательный предел

[pic]

Доказательство: докажем для [pic]справедливость неравенства [pic]

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на

промежутке[pic]

Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

[pic]

[pic], так как х>0, то [pic],

2. следовательно, что [pic]

[pic]

[pic]

1. Покажем, что [pic]

[pic]

[pic]

2. Докажем, что [pic]

[pic]

3. Последнее утверждение:

[pic]

18. Второй замечательный предел

lim(n(()(1+1/n)^n=e Док-во:

x(+( n x:n=[x] => n(x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция

возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n((1+1/n)^x(

(1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е.

Заметим (х(+(, n(()

lim(n(()(1+1/(n+1))=lim(n(()(1+1/(n+1))^n+1-1=

lim(n(()(1+1/(n+1))^n+1(lim(n(()1/(1+1/(n+1))=e

lim(n(()(1+1/n)^n+1= lim(n(()(1+1/n)^n( lim(n(()(1+1/n)=e(1=e

19.Б-м ф-ии, действия над ними

Опр. Ф-ция ((х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого

определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если

((х)(0 при х(х0, а f(x) определена и ограничена (( С:(((х)((С)=> ((х)((х)(0

при х(х0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл.

понятие:

1) Если отношение 2-х б/м ((х)/((х)(0 при х(х0 то говорят что б/м ( имеет

более высокий порядок малости чем (.

2) Если ((х)/((х)(A(0 при х(х0 (A-число), то ((х) и ((х) наз-ся б/м одного

порядка.

3) если ((х)/((х)(1 , то ((х) и ((х) наз-ся эквивалентными б/м (((х)~((х)),

при х(х0.

4) Если ((х)/(^n(х)(А(0, то ((х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно

((х).

Аналогичные определения для случаев: х(х0-, х(х0+, х(-(, х(+( и х((.

20. Б-б ф-ии, связь с б-м

Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел

в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=?

Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а.

Ф-ия ((х) имеет предел в точке а, отличный от 0

Ф-ия ((х) и ((ч) – бесконечно малые

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.

[pic]

2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел

- бесконечно большая. [pic]

3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и

наоборот.

[pic]

21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии

22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.

Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)

Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений

аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть

значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0),

т.е. (({xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0)

Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ?>0 найдется

отвечающее ему положительное число ? такое что для всех х, удовлетворяющих

условию |x-x0|< ? выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ?

Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой

точке является бесконечно малой функцией при ?x->0, т.е. lim(?x->0)( ?y)=0

23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии

Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x),

f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)?0)

Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0).

Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b

f(x)\g(x) существуют и соответственно равны

f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)?0).Но эти величины равны

соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно

определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0

24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода

Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-

ии.

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го

, и 2-го рода.

а) если в т-ке х0 ( оба односторонних предела, которые совпадают между

собой f(x0+)= f(x0-), но ( f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-

рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так

чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию

положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках,

то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0 ( оба 1-стороних предела f(x0(), которые не равны между

собой f(x0+)(f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не ( или

бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии

26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при

смене знаков)

Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка

значение разных знаков f(a) f(b), то ( т-ка с((a,b),в которой ф-ия

обращается в0.

Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом

деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.

Пусть f(d)(0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков.

Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок

на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую

т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы

получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-

b)/2^n(0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-

ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)(0 то по

св-ву сохр. знаков в некоторой ( окрестности, т-ке с f имеет тот же знак

что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту

окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.

27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое

промежуточное значение)

28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда

f(x) огран. на этом отрезке, т.е. ( с>0:(f(x)((c (x((a,b).

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от

противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b]

f(x) неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру

деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке

d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной

стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др.

стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой

окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти

т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на

др. пр-ки

29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих

точных граней)

Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом

отрезке, т.е. ( т-ка max X*:f(x*)(f(x) (x([a,b], т-ка min X_:f(x_)(f(x)

(x([a,b].

Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по

предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани

supE(f)=supf(x)=(при х([a,b])=M(<(). InfE(f)= inff(x)=m(m>-(). Для опр.

докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. ( х*:f(x)=M. Допустим

противное, такой т-ки не ( и сл-но f(x)<M (x([a,b] рассмотрим вспомогат. ф-

цию g(x)=1/(M-f(x) при х([a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций

и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. ( c>0

!0<g(x)(c g(0, на [a,b] – 1/(M-f(x))(c => 1(c(M-f(x)) => f(x) (M-1/c

(x([a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в

правой части стоит “C”

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на

др. пр-ки

30.Th о непрерывности сложной ф-ии

31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)

Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором

промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная

ф-ии x=?(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.

32.Понятие производной

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Пусть ?x – приращение

аргумента в точке x0, а ?y=f(x0+?x)-f(x0)– соответствующее приращение

функции. Составим

отношение ?y/(поделить)?x этих приращений и рассмотрим его предел

при?x->0. Если указанный

предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и

обозначается [pic], [pic]

или [pic], то есть

[pic].

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а

функция, имеющая

производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция

имеет производную в

каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на

этом интервале.

33.Геометрический смысл производной

а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x),

дифференцируемой в

точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+?x, y0+?y)

графика прямую l, и пусть

B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда (1)?y/(деленный)?x=tg

B(бэтта)

Рис. 13.

Если ?x стремится к нулю, то ?y также стремится к нулю, и точка M

приближается к точке M0, а

прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол

?(альфа). При этом

равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tg?’ откуда следует, что

производная функции в точке

равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой

точке.

34.Понятие дифференцируемости ф-ии

Df : Ф-ия [pic] дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке

сможет быть представлено в виде:

[pic], А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в

этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

[pic]

(достаточность): [pic]

35.Непрерывность и диф.

36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью

dy

Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ?х,

часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии

используют символ dy.

Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии [pic]можно

представить в виде [pic]

Из равенства нулю предела следует, что [pic]- б.м. более высшего порядка

малости, чем [pic], и [pic]

Поскольку [pic]- б.м. одного порядка малости.

[pic]- б.м. одного порядка малости [pic]- б.м. эквивылентные, т.е. [pic]

Пусть [pic]

**************

[pic]

Zm1: [pic]и х – независимые переменные, т.е. [pic]

Zm1: [pic] для независимых переменных.

[pic]

37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн

1) [pic];

2) [pic], где [pic] - постоянная;

3) [pic];

4) [pic];

5) если [pic], а [pic], то производная сложной функции [pic]

находится по формуле

[pic],

где индексы указывают, по какому аргументу производится

дифференцирование.

38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg,

loga(основание)Х(а>0,a?1,x>0)

39.Th о произв сложной ф-ии

Пусть:

1. [pic]- дифф. в точке y0 .

2. [pic]- дифф. в точке х0 .

3. [pic]

тогда сложная ф-ия [pic]- дифф. в точке х0 и справедлива формула:

[pic]

Доказательство:

1. [pic]- дифф. в точке y0 [pic]

2. [pic]- дифф. в точке х0 [pic]

[pic]

3. [pic]- дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке[pic].

[pic]

[pic]

[pic]

40.Производная ф-ий x^?, ?ЄR(прием логарифм. Диф)

41.Th о производной обратной ф-ии

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (?,?) в

(а,b) тогда ? обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (?,?). Если f диф-ма в точке x0?(?,?) и f’(x0)?0, то g

диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN>y0, yN?y0 => ?

посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO > 1/f’(xo) при

n>?, получили при xN>xO g(yN)-g(yO)/yN-yO>1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a?1)

1) x>“rcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии,

что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y,

т.к. “rcsin: [-1,1]>[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]>[0,1], то Cos y?0 и, значит

Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2

2) x>Arccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) x>Arctg’x = 1/1+x2

4) x>Arcctg’x= -1/1+x2

5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии

x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения

loga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в

степени х)lna

43.Производная высших порядков

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция

f’(x):x>f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в

некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй

производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется

f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее.

Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f

в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы

существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO

(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция

x>fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n?2 все производные порядка не выше

(n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную

функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует

производная у’(t)=у’(х)*х’(t).

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную

функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует

производная у’(t)=у’(х)*х’(t)

+нужно док-во

44.Диференциалы высших порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е.

d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного

порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал

первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По

определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем

случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-

ет.

+нужно док-во

45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и

убыван ф-ии в точке

46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0 локальный максимум, если сущ-ет

окрестность (х0-(, х0+(), для всех точек х которой выполняется неравенство

f(х)(f(х0). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться

должно равенство f(х)(f(х0).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный экстремум и

дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть (х0-(, х0+() -

та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ?х| <?

При ?х>0, будет ?y:?x ?0, поэтому

При ?х<0, будет ?y:?x ?0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х0)А это означает, что правая

производная fпр'(х0) и левая производная fл'(х0) равны между собой:

fпр'(х0)= fл'(х0)= f'(х0). Таким образом, с одной стороны, f'(х0)?0, с

другой стороны, f'(х0)?0, что возможно лишь, когда f'(х0)=0.

47.Th Роля

Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) (

т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b]

(f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 ( x ( (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с.

Пусть f( const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме

Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min.

Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. –

max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с((a,b) (в противном

случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

48.Th Логранжа (формула конечн.приращен)

Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда

( т. х и x+(x ( [a,b] ( т-ка С лежащая между х и х+(х такая что спаведлива

ф-ла (f(x+(x)-f(x))=f(c)((x (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с

диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна

считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен.

Крайнее значение (a,b) не запрещены.

Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+(x=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-

f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-

(f(b)-f(a))/(b-a) ( (x-a)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому ( т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-

(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен)

Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке

[a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом

промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c (

(a,b), что выполняется равенство (1)

Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ? 0,т.к. из

равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х)

обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что

противоречит условию g'(х)?0. Образуем вспомогательную функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в

(a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих

промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0.

Следовательно, существует точка c ( (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) (0), мы приходим

к формуле (1)

50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)

51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x), то

lim(x(a)f(x)/g(x)= lim(x(a)f‘(x)/g‘(x), когда предел ( конечный или

бесконечный.

Раскрытие (/(. Второе правило.

Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x)=(, то lim(x(a)f(x)/g(x)=

lim(x(a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x((,x(-(,x(+(,x(a-,x(a+.

Неопред-ти вида 0(, (-(, 0^0, 1^(, (^0.

Неопр. 0(, (-( сводятся к 0/0 и (/( путем алгебраических преобразований. А

неопр. 0^0, 1^(, (^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к

неопр вида 0

52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)

53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.

Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за

исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной

окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то функция

f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки с и

f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум.

Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума

в точке с нет.

(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное

условие локального экстремума)

54.Два достаточных условия экстремума.

55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в

любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не

превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие

выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)(f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) ( x,x0((a;b) f

вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.)

линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-

ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет

знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный

экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет

т-ки графика по разные стороны.

57.Достаточное усл. Точек перегиба

58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви,

оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она

неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют

асимптотами.

.Вертикальные асимптоты – прямая [pic] называется вертикальной асимптотой

графика ф-ии [pic] в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов

равен бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота

появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен

нулю.

********************

Наклонная асимптота – прямая [pic] наклонная асимптота ф-ии [pic], если эта

ф-ия представлена в виде [pic]

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты [pic] к графику ф-ии [pic] необходимо

и достаточно существование конечных пределов:

[pic] [pic]

Доказательство: Пусть:

[pic]

Пусть:

[pic]

Следовательно существует асимптота.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]