Шпора по математическому анализу

Шпора по математическому анализу

|13. Линейные | |10. Линейные неодн| |Лекция №7 |

|неоднородные диф | |ДУ n-го порядка с | |1.Определение ( |

|ур-я n-го порядка | |перем коэф. | |решения. |

|с правой частью | |1)Теорема (я и | | |

|квазимногочлена. | |ед-ти решения нач | |Предп. что |

|1)Квазимногочлены | |задачи | |рассматр. нач. |

|и их свойства | |2)Теорема об общем| |задача вида |

|2)Правило | |решении | |(1)-(2) |

|нахождения | |3)Метод Лагранжа | |у(=f(x,у)(1) |

|частного решения в| |вариации произв | |у(х0) =у0(2) |

|нерезонансном | |пост | |f(x,у) – непр. по |

|случае | |4)Ф-я Коши и её | |совокупн. решенных|

|3)Правило | |св-ва | |предполог., что |

|нахождения | | | |f(x,у) рассматр. |

|частного решения в| |1:)Теорема (я и | |на прямоугольнике |

|резонансном случае| |ед-ти решения нач | |D= |

|1:)Квазимногочлены| |..+an(x)y=f(x) | |(M=maх|f(x,у)| |

|и их свойства | |a<x<b (1) – общий | |удовл. условию |

|Рассмотрим ЛОДУ | |вид | |Лишица по второй |

|n-го порядка. | |a1(x),...,an(x) – | |переменной | |

|y(n)+a1y(n-1)+...+| |коэф ур-я (непр на| |f(x,у) –f(x,z) |

|any=f(x) (1); ai(C| |(а;в)). f(x) – | ||<=L|y-z| (4). При|

|(i=1,...,n. | |непр на (а;в) – | |вып. всех этих |

|f(x)-квазимногочле| |своб член. | |предпол. нач. зад.|

|н. Чтобы найти | |f(x)(0(тождественн| |(1)-(2) имеет |

|решение (1) н-но | |о). | |единств. реш-е |

|решить | |y(x0)=y0;y’(x0)=y0| |опр. на отр-ке | |

|y(n)+a1y(n-1)+...+| |’;...;y(n-1)(x0)=y| |х-х0|<=h; |

|any=0 (2). М-но | |0(n-1) (2) | |h=min{а,б/ М } (5)|

|искать по методу | |x0((a;b). | |П. у(х)- кусочно |

|Лагранжа: | |y0;y0’;...;y0(n-1)| |диф-ма фун-я и |

|f(x)=e([1]xp1(x)+e| |-заданные числа. | |удовл. след. н-ву:|

|([2]xp2(x)+...+e([| |Задача нахождения | || у((х)-f(x,у(х)) |

|k]xpk(x) (3) – | |решения (1) удовл | || <=? f(x) (6) |

|квазимногочлен; | |усл (2) наз | |у(х0)=у0 (7) |

|(1,...,(k(C; | |начальной задачей,| |Кусочная диф-мость|

|p1(x),...,pk(x) – | |а (2) – начальным | |ф-ции означает, |

|мн-ны с компл | |условием. Условий | |что весь пром-к, |

|коэф. Примером | |ровно столько, | |на котор. ф-я |

|квазимногочленов | |каков порядок | |опред. можно |

|являются | |уравнения. Выпишем| |разбить на части в|

|показательные | |однородное | |котор. ф-я диф-ма|

|функции: | |уравнение, соотв | |в точках разбиения|

|eix=cos(x)+i*sin(x| |ур-ю | |( одностор |

|). sin и cos также| |(1):y(n)+a1(x)y(n-| |производные. |у(+ |

|квазим-ны: | |1)+...+an(x)y=0 | |--f(x,у(х))|<=? |

|cos(x)=(eix+e-ix)/| |(3). Межу (1) и | |f(x) |

|2;sin(x)=(eix-e-ix| |(3) (ет простая | |если известно что,|

|)/2i. Квазимн-ны | |связь: 1)если y(x)| |? f(x) <=(, то |

|м-но складывать, | |решение (1), а | |у(х) наз. ( |

|умножать, | |U(x) – решение | |решением. |

|вычитать, но !не | |соотв (3), то их (| |Введем в |

|делить! Результат | |явл реш-ем (1); | |рассмотрен еще |

|деления будет | |2)если y(x) и z(x)| |одну ф-ю Z(x) по |

|функцией, но не | |– оба решения (1),| |правилам: |

|квазимногочленом. | |тогда y(x)-z(x) – | ||Z((x)-g(x,z(x))|<|

|Производная от | |решение (3). | |=?g(x) (8) |

|квазимн-на будет | |Д-во: | |Z(x0)=Z0 (9) |

|квазимногочленом. | |y(n)+a1(x)y(n-1)+.| |Предп. что g(x) |

|Если рассматривать| |..+an(x)y=f(x); | |непр. в прямоуг. D|

|хар корни, соотв | |y(x) – решение | |и кусочно диф-ма |

|(2) и выпис их | |уравнения (1); | |предполаг. далее, |

|кратности | |u(n)+a1(x)u(n-1)+.| |что | |

|k1,...,ks; | |..+an(x)u=0. U(x) | |f(x,у)-g(x,y)|<=( |

|y=e([1]xp1(x)+e([2| |– решение (3). | |(10) |

|]xp2(x)+...+e([s]x| |Покаж, что | |Возн. задача: |

|ps(x) (4). Общ реш| |(y(x)+U(x))(n)+a1(| ||у(х)-z(x)|<=? |

|(2) – квазимн-н. | |x)(u(x)+y(x))(n-1)| |Запишем мн-во (6) |

|deg(pj(x))=kj. | |+...+an(x)(u+y)=f(| |иначе: у((х)= |

|Опр: Если в (3) | |x) | |f(x,у(х))+((х), |

|(1,...,(k | |y(n)+u(n)+...+an(x| |где |((x)<= f(x)| |

|попарноразличны, | |)y+an(x)u(x)=f(x)+| |В этом случ. у- |

|то их число наз-ся| |0=f(x). | |есть реш-е диф. |

|порядком | |ч.т.д. | |ур-я. ((х)- |

|квазимн-на. | | | |кусочно диф-ая ф-я|

|Теорема: ф-и вида | |Теорема: if коэф | |(и кусочно непр.) |

|e([j]x, j=1,...,s;| |(1) – непрерывны, | |Для Z(x) м-нo |

|r=0,1,...,kj-1 | |то решение с нач | |зап-ть анал. |

|образует фунд сист| |зад (1) – (2) | |рав-ва |

|реш-ий. | |всегда (ют, | |Z((x)=g(x,z(x))+((|

|Д-во: Пусть у (3),| |единственны, и | |x), |((x)|<=g(x) |

|(1,...,(n – | |можно считать опр | |В этом случае. z- |

|попарно-различны(k| |на всём (a;b). Эту| |реш. диф. ур-я |

|-порядок | |теорему называют | |((х)- кус. непр. и|

|многочлена). Тогда| |нелокольной | |диф-ма. |

|f(x)(0 <=> | |теоремой ( и | |Проинтегр. рав-ва |

|pj(x)=0, (j=1..k | |единств реш нач | |у((х) и для z((х) |

|(5). Проведём | |зад. | |у(х)=y0+(x0,x)?f(ds |

|ММИ: | |n-го порядка и | |(11) |

|1)k=1;f(x)=e([1]xp| |системой из | |z(x)=z0+(x0,x)?n-уравнений 1-го ds |

|2)Пусть многочлен | |порядка: возьмём | |(12) |

|вида (3)=0. | |уравнение 2-го | |вычтем. почленно |

|Разделим (3) на | |порядка с непр | |из (11)-(12) и |

|e([k]x: | |коэф: | |оценим разницу по |

|e(([1]-([k])xp1(x)| |y’’+p(x)y’+q(x)y=f| |иодулю: |

|+e(([2]-([k])xp2(x| |(x). | |у(х)-z(x)=y0-z0+(x|

|)+...+pk=0. Пусть | |y1(x)=y(x);y2(x)=y| |0,x)?rk-степень |

|многочлена. Если | |y1’(x)=y’(x)=y2(x)| |ds (13) |

|продифференцироват| |; | ||y(x)-z(x)|<=|y0-z|

|ь многочлен | |y2’(x)=y’’(x)=f(x)| |0|+|?s,z(s))+((s)+((s)|

|не останется. | |x)-p(x)y2(x)-q(x)y| |ds|<=|y0-z0|+(x0,x|

|Pr[k]+1((j=1..k-1)| |1(x). | |) ds |

|+...+e(([k-1]-([k]| |решений однор ур-я| ||((x)<=(; |

|)xgk-1(x)(0; | |(3), а z(x) – | ||((x)|<=( |

|gj(x)(pj(x)*(p-(j-| |какое – либо | |П. |

|(k)r[k+1]; | |частное решение | ||y(x)-z(x)|=u(x).Е|

|j=1..k-1 => | |неодн ур-я (1) | |огда посднее н-во |

|gj(x)(0. Если при | |имеет след вид: | |м-но зап-ть в |

|p=0 получ 0, то | |y=c1y1(x)+...+cnyn| |след. виде |

|дифференциальный | |(x)+z(x) (5), где | |U(x)<=U(x0)+(x0,x)|

|оператор сохраняет| |с1,...,cn – произв| |?LU(s)+(+(+(}ds |

|степень | |пост. | |(15) |

|многочлена. | |Д-во: Докажем, что| |Пользуясь леммой о|

|pj(x)(0, | |(5) всегда даёт | |лин. инт. нер-ах |

|j=1..k-1;=> (5) – | |решение (1) при | |м-но вып-ть оценку|

|д-но | |(c1,...,cn. Вся | |ф-ции U(x) если |

|Тхеоремена | |первая часть (5) –| |ф-ции у(х) и z(x) |

|доказякана | |решение (3). | |это точные реш-я, |

| | |Добавл к нему | |то (,(,( =0 |

|2:)Правило | |частн реш z(x), | ||y(x)-z(x)|<=L|x-x|

|нахождения | |получ реш неодн | |0|; |

|частного решения в| |(1). Покаж, что ( | ||y0-z0|+(((+(+()/L|

|нерезонансном | |решение неодн ур-я| |)(eL|x-x0|-1) |

|случае | |(1) м.б. записано | | |

|Пусть L(()(0. (7).| |в виде (5) при нек| |2 Th |

|Этот случай | |пост c1,...,cn. | |единственности и |

|называется | |If y(x) – частн | |оценка разности |

|нерезонансным. | |решение (1), то | |решений |

|Частное решение | |y(x)–z(x) – | ||y(x)-z(x)|<= |

|ур-я (1) запис в | |решение однор ур-я| |eL|x-x0||y0-z0|, |

|след виде: | |(3). По теореме об| |y0=z0 (17) |

|y=e(xg(x). | |общем решении в | |y(x)? z(x) |

|deg(g)=deg(p) (8).| |(3) мы можем | |Прич. если нач. |

|Теория утверждает,| |указать такие | |усл. совп. то |

|что эта система | |c1,...,cn – что | |совп. и сами |

|всегда имеет | |y(x)–z(x)=c1y1(x)+| |ф-ции. |

|единственное | |...+cnyn(x). | | |

|решение => | |Перенося z – | |3 Зависимость от |

|коэффициенты g(x) | |вправо, получ (5).| |правой части |

|определяются | |Теорема доказана. | |если у(х) и z(x) |

|однозначно. | |Общее решение | |это точное реш-е |

|Д-во: | |однородного | |но разных задач, |

|L(p)y=e(xp(x). | |уравнения есть ( | |то в этом случае |

|Учитывая (8), | |общ решения соотв | |(=(=0, (>0 и м-но |

|получаем: | |однор ур-я, и | |оценить разницу |

|L(p){e(xg(x)}=e(xp| |какого – либо | |между у(х) и z(x) |

|(x). Применим к | |частн решениия | | |

|лев части ф-лу | |неодн ур-я. | ||y(x)-z(x)|<= |

|смещения: | | | |eL|x-x0||y0-z0|+((|

|e(xL(p+()g(x)=e(xp| |3:)Метод Лагранжа | |/L)( eL|x-x0|-1) |

|(x). | |вариации произв | |(18) |

|L(p+()g(x)=p(x). | |пост | |Н-во (18) зад. |

|L(()(0 | |Лагранж предложил | |зависимость от |

| | |искать частные | |прав. частей. |

|3:)Правило | |решения в виде (5)| |4 Оценка разности |

|нахождения | |без z(x), только | |между ( решениями |

|частного решения в| |константы считать | |Если y(x) и z(x) |

|резонансном | |ф-ми: | |это соотв. ( и ( |

|случае. | |y=c1(xz)y1(x)+…+cn| |реш-я нач. задачи |

|Мы решаем (1) c | |(x)yn(x) (6). Если| |(1)-(2) , то это |

|правой частью вида| |c1,….,cn выбирать | |знач. что гач. |

|(6), но снимая | |так, чтобы вып-сь | |усл. совпадают |

|ограничения (7). | |след усл: | |у0=z0, (=0, И |

|Этот случай наз-ся| |Система: (7) | |оценка разности |

|резонансным. | |с1’(x)y(x)+…+cn’(x| |решний приобретает|

|L(()=0 (9). | |)yn(x)=0; | |такой вид: |

|k-кратность (, как| |…… | ||y(x)-z(x)|<= |

|корня хар ур-я. | |c1’(x)y(n-2)(x)+…+| |eL|x-x0||y0-z0|+((|

|y=e(xxkg(x) (10). | |cn’(x)y(n-2)n(x)=0| |/L)( |

|Deg(g)=Deg(p). | | | |eL|x-x0|-1)=(((+ |

|(10) частное | |c1’(x)y(n-1)(x)+…+| |()/L)( eL|x-x0|-1)|

|решение. Теория | |cn’(x)y(n-1)n(x)=f| |(19) |

|утверждает, что | |(x) | |если у(х) это |

|нахождение g(x) | | | |точн. реш-е при |

|имеет единственное| |if c1(x),..,cn(x) | |этом (=0 и п. z(x)|

|решение. | |– удовл усл (7), | |это ( реш-е |

|Д-во: | |то (6) даёт | ||y(x)-z(x)|<= |

|L(p)y=e(xp(x); | |решение (1). | |((/L)( eL|x-x0|-1)|

|L(p){e(xxkg(x)}=e(| |Д-во: В этой | |(20) |

|xp(x). Применим | |системе неизв явл | |5 Метод ломаных |

|ф-лу смещения: | |c1’,…,cn’ | |Эйлера |

|e(xL(p+(){xkg(x)}=| |Матрицей (7) явл | |Метод ломаных- это|

|e(xp(x); | |W(x)<>0(сост матр | |метод численного |

|L(p+(){xkg(x)}=p(x| |из игриков) => это| |интегрир. нач-ой |

|). Нужно найти | |система имеет | |задачи. Для этого |

|g(x), удовл | |единственное | |весь пр-к опред-я|

|последн ур-ю. Т.к.| |решение. Проверим,| |ф-ии по х разб. на|

|(-корень хар ур-я,| |что (6) при вып | |части х0 <х1<…<xn |

|то м-но записать в| |(7) даёт решение | |(21) Это разб. |

|след виде: | |(1). | |наз. сеткой, а |

|L(p)=M(p)*(p-()k; | |Система: | |x0…xn –узлами |

|(- корень, | |y(x)=c1(x)y1(x)+…+| |сетки. Задача |

|кратности k. | |cn(x)yn(x); | |закл. в опр-ии |

|M(()(0. | |y’(x)=c1(x)y1’(x)+| |значении реш-я |

|M(p+()pk{xkg(x)}=p| |…+cn(x)yn’(x) | |ф-ции y(xi)=yi |

|(x). N(p)(M(p+(). | |…. | |Разбиение обычно |

|N(p)pk{xkg(x)}=p(x| |y(n-1)(x)=c1(x)y1(| |опр-ся |

|). Пусть | |n-1)(x)+…+cn(x)y(n| |равно-мерно: |

|pk{xkg(x)}=h(x). | |-2)n(x) | |xi+1-xi=h, |

|Получ: | |y(n)(x)=f(x)+c1(x)| |h=(xn-x0)/n |

|N(p)h(x)=p(x). h -| |y1(n)(x)+…+cn(x)y(| |Идея метода Эйлера|

|( и однозначно | |n)n(x) | |состоит в след. : |

|находится по p(x).| | | |(y(xi+1)-y(xi))/(x|

|Проверим, что | |Умножим | |i+1-xi)(y((x)= |

|N(0)=M(()(0. Н-но | |соответственно на | |f(x,у(xi)) |

|по h(x) найти | |an(x),…,a1(x),1 и | |(y(xi+1)-y(xi))/(x|

|g(x). | |сложим: Введём | |i+1-xi) = |

|pk{xkg(x)}=h(x). | |обозначение: (9) | |f(x,у(xi)) (22) |

|g(x)=(j=0..n)(gjxj| |L{y(x)}(y(n)(x)+a1| |Тогда значение |

|; | |(x)y(n-1)+…+an(x)y| |кажд. след. точки |

|h(x)=(j=0..r)(hjxj| |(x) – лин диффер | |можно переписать |

|; | |оператор | |через значение |

|(j=0..r)(gjxj+k=(j| |L{y(x)}(=)f(x)+c1(| |пред. точки : |

|=0..r)(gj(k+j)...(| |x)L{y1(x)}+…+cn(x)| |y(xi+1)=y(xi)+f(xi|

|j+1)xj=(j=0..r)(hj| |L{yn(x)}, т.к. | |,y(xi))(xi+1-xi) –|

|xj; | |y1(x),…,yn(x) – | |условие Эйлера |

|gj=hj/(k+j)*...*(j| |обр фунд систему, | |y(x0)=y0 ; |

|+1); j=0..r. | |то (=)f(x) | |y(x1)=y(x0)+f(x0,y|

|Утв: | |(10)~(1) | |(x0))(x1-x0) |

|M(p)=b0pm+b1pm-1+.| | | |y(xn)=y(xn-1)+f(xn|

|..+bm; bm(0. | |4:)Ф-я Коши и её | |-1,y(xn-1))(xn-xn-|

|Д-во: (p(x) – | |св-ва | |1) |

|вып-ся: | |Решим систему (7) | |Если имеет место |

|M(p){g(x)}=p(x) | |по правилу | |равн. разб. отр-ка|

|(12). Уравнение | |Крамера. | |то послдняя |

|имеет единственное| | | |формула имеет вид:|

|решение, | | | |yi+1=yi+hf(xi,yr) |

|deg(g)=deg(p). Усл| | | |(24) r=0,1…., n-1 |

|bm(0(M(0)(0; | | | |Сеточные ф-ии |

|prxr+...=p(x);grxr| | | |ставят в |

|+...=g(x). | | | |соответств. нек. |

|M(p){g(x)}=grM(p)x| | | |ломанную, это |

|r+...=grbmxr+...=p| | | |кусочно непр. ф-я |

|rxr. Т.о. g=pr/bm.| | | | |

| | | | |yr(x)=yr+(x-xi)f(x|

| | | | |i,уi), xi<=x<=xi+1|

| | | | |(25) |

| | | | |И спр-во утв-е : |

| | | | |если (>0 то в силу|

| | | | |непр. ф-ции f(x,у)|

| | |ci(x)=(Wi(x)/W(x))| |: |

| | |f(x) (11), i=1..n;| ||f(x,у)- |

| | |Wi – | |f(x,z)|<=( если |

| | |алгебрарическое | ||x-s|<=(, |

| | |дополнение к эл-ту| ||y-z|<=(, ( |

| | |n-ой строки стоящ | |((()>0 (непр. по |

| | |в i-м столбце. | |совок. переменных)|

| | |ci(x)= | |M=maх|f(x,у)| |

| | |ci+(x0..x)((Wi(s)/| |Д-во |

| | |W(s))f(s)ds, | |Из (25) вытекает |

| | |i=1,…,n (12). | ||y(((x)-f(x,у((x))|

| | |Подставим в (6): | || |

| | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |=|f(xi,уi)-f(xi,уi|

| | |+(i=1..n)(((x0..x)| |)+(x-xi)f(xi,уi))||

| | |((Wi(s)/W(s))f(s)d| |<=( (26) |

| | |s)yi(x)=(i=1..n)(c| ||x-xi|<=(; |

| | |iyi(x)+(x0..x)((i=| ||x-xi||f(xi,уi)|<=|

| | |1..n)((Wi(s)/W(s)f| |(M |

| | |(s))y(x)ds) (13) | |При достаточно |

| | |K(x)=(i=1..n)((y(x| |малом шаге |

| | |)Wi(s))/W(s) (14);| |ломаная Эйлера |

| | |x,s((a;b) | |становится ( |

| | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |решением |

| | |+(x0..x)(K(x,s)f(s| |6 Оценка |

| | |)ds (15) – | |погрешности метода|

| | |интегральный | |ломаных Эйлера |

| | |оператор | |Предп. что f(x,у) |

| | | | |удовл. усл. Лищица|

| | | | |по кажд. |

| | | | |переменной |

| | | | |т.е. разница : |

| | | | ||f(x,у) |

| | | | |–f(s,z)|<=k|x-s|+L|

| | | | ||y-z| (27) |

| | | | |Вэтом случае |

| | | | ||y(((x)-f(x,у((x))|

| | | | ||=|f(xi,yi)-f(x,yi|

| | | | |+(x-xi)f(xi,уi)|<=|

| | | | | |

| | | | |( в кач-ве у(х) |

| | | | |выбир. отн. Эйлера|

| | | | |) |

| | | | |<= |

| | | | |k|x-xi|+|x-xi|LM<=|

| | | | |(k+(()(( (28) |

| | | | |Восп. соотн. (20) |

| | | | |Пусть сетка будет |

| | | | |равномерной |

| | | | ||y(x)-y((x)|<=(((k|

| | | | |+ML)()/h)(eL|x-x0||

| | | | |-1) (29) |

| | | | ||y(x)-y((x)|<= |

| | | | |h(M+k/h)(eL|x-x0|-|

| | | | |1) (30) |

| | | | |Оценка (30) наз-ся|

| | | | |оценкой первого |

| | | | |пор-ка точности. |

| | | | |Задаваясь опред. |

| | | | |точностью и зная |

| | | | |числа k,M,L можно |

| | | | |определить h таким|

| | | | |обр. чтобы посл. |

| | | | |произв. было <(. |

| | | | |Тогда соотв. и |

| | | | |разн. между ф-ей |

| | | | ||y(x)-y((x)|<( |

| | | | |(32) |