Шпора по математике

Шпора по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a(b)(=a((2ab+b(

(a(b)(=a((3a(b+3ab((b(

a(-b(=(a+b)(a-b)

a((b(=(a(b)(a(?ab+b(),

(a+b)(=a(+b(+3ab(a+b)

(a-b)(=a(-b(-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a(xn-3+...+an-1)

ax(+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и x2 ( корни уравнения

ax(+bx+c=0

Степени и корни :

ap(ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

ap(bp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

p(a =b => bp=a

p(ap(b = p(ab

(a ; a ( 0

____

/ __ _

p( g(a = pg(a

___ __

pk(agk = p(ag

p ____

/ a p(a

/ (( = ((((

( b p(b

a 1/p = p(a

p(ag = ag/p

Квадратное уравнение

ax(+bx+c=0; (a(0)

x1,2= (-b((D)/2a; D=b( -4ac

D>0( x1(x2 ;D=0( x1=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1( x2 = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x( + px+q =0

x1+x2 = -p

x1(x2 = q

Если p=2k (p-четн.)

и x(+2kx+q=0, то x1,2 = -k(((k(-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

(((x2-x1)(-(y2-y1)()

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a(0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga x = b; x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c(1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an = a1 +d(n-1)

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn = bn-1 ( q

b2n = bn-1( bn+1

bn = b1(qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin ((-() = sin (

sin ((/2 -() = cos (

cos ((/2 -() = sin (

cos (( + 2(k) = cos (

sin (( + 2(k) = sin (

tg (( + (k) = tg (

ctg (( + (k) = ctg (

sin( ( + cos( ( =1

ctg ( = cos( / sin( , ( ( (n, n(Z

tg( ( ctg( = 1, ( ( ((n)/2, n(Z

1+tg(( = 1/cos(( , ((((2n+1)/2

1+ ctg(( =1/sin(( , (( (n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ( (/2 + (n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ( (/2 + (n

Формулы двойного аргумента.

sin 2( = 2sin ( cos (

cos 2( = cos( ( - sin( ( = 2 cos( ( - 1 =

= 1-2 sin((

tg 2( = (2 tg()/ (1-tg(()

1+ cos ( = 2 cos( (/2

1-cos( = 2 sin( (/2

tg( = (2 tg ((/2))/(1-tg(((/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin( (/2 = (1 - cos ()/2

cos((/2 = (1 + cos()/2

tg (/2 = sin(/(1 + cos( ) = (1-cos ()/sin (

(( ( + 2(n, n (Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ((cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ((cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ((sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg( x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin(( = 1/(1+ctg(() = tg((/(1+tg(()

cos(( = 1/(1+tg(() = ctg(( / (1+ctg(()

ctg2( = (ctg((-1)/ 2ctg(

sin3( = 3sin( -4sin(( = 3cos((sin(-sin((

cos3( = 4cos((-3 cos(=

= cos((-3cos(sin((

tg3( = (3tg(-tg(()/(1-3tg(()

ctg3( = (ctg((-3ctg()/(3ctg((-1)

sin (/2 = ((((1-cos()/2)

cos (/2 = ((((1+cos()/2)

tg(/2 = ((((1-cos()/(1+cos())=

sin(/(1+cos()=(1-cos()/sin(

ctg(/2 = ((((1+cos()/(1-cos())=

sin(/(1-cos()= (1+cos()/sin(

sin(arcsin () = (

cos( arccos () = (

tg ( arctg () = (

ctg ( arcctg () = (

arcsin (sin() = ( ; (( [-(/2 ; (/2]

arccos(cos () = ( ; ( ( [0 ; (]

arctg (tg () = ( ; ( ([-(/2 ; (/2]

arcctg (ctg () = ( ; ( ( [ 0 ; (]

arcsin(sin()=

1)( - 2(k; (([-(/2 +2(k;(/2+2(k]

2) (2k+1)( - (; (([(/2+2(k;3(/2+2(k]

arccos (cos() =

1) (-2(k ; (([2(k;(2k+1)(]

2) 2(k-( ; (([(2k-1)(; 2(k]

arctg(tg()= (-(k

(((-(/2 +(k;(/2+(k)

arcctg(ctg() = ( -(k

((((k; (k+1)()

arcsin( = -arcsin (-()= (/2-arccos( =

= arctg (/((1-(()

arccos( = (-arccos(-()=(/2-arcsin (=

= arc ctg(/((1-(()

arctg( =-arctg(-() = (/2 -arcctg( =

= arcsin (/((1+(()

arc ctg ( = (-arc cctg(-() =

= arc cos (/((1-(()

arctg ( = arc ctg1/( =

= arcsin (/((1+(()= arccos1/((1+(()

arcsin ( + arccos = (/2

arcctg ( + arctg( = (/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| ( 1

x = (-1)n arcsin m + (k, k( Z

sin x =1 sin x = 0

x = (/2 + 2(k x = (k

sin x = -1

x = -(/2 + 2 (k

cos x = m; |m| ( 1

x = ( arccos m + 2(k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2(k x = (/2+(k

cos x = -1

x = (+ 2(k

tg x = m

x = arctg m + (k

ctg x = m

x = arcctg m +(k

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t()/(1+t()

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

logaf(x) >(<) log a ((x)

1. a>1, то : f(x) >0

((x)>0

f(x)>((x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

((x)>0

f(x)<((x)

3. log f(x) ((x) = a

ОДЗ: ((x) > 0

f(x) >0

f(x ) ( 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - (3 cos x = 0

2sin x cos x -(3 cos x = 0

cos x(2 sin x - (3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin( x - sin 2x + 3 cos( x =2

sin( x - 2 sin x cos x + 3 cos ( x = 2 sin( x + cos( x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin ( ( m

2(k+(1 ( ( ( (2+ 2(k

2(k+(2 ( (( ((1+2()+ 2(k

Пример:

I cos ((/8+x) < (3/2

(k+ 5(/6< (/8 +x< 7(/6 + 2(k

2(k+ 17(/24 < x< (/24+2(k;;;;

II sin ( ( 1/2

2(k +5(/6 ((( 13(/6 + 2(k

cos ( ((() m

2(k + (1 < (< (2+2 (k

2(k+(2< (< ((1+2() + 2(k

cos ( ( - (2/2

2(k+5(/4 ((( 11(/4 +2(k

tg (((() m

(k+ arctg m ((( arctg m + (k

ctg ((() m

(k+arcctg m < (< (+(k

Производная:

(xn)’ = n( xn-1

(ax)’ = ax( ln a

(lg ax )’= 1/(x(ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos( x

(ctg x)’ = - 1/sin(x

(arcsin x)’ = 1/ ((1-x()

(arccos x)’ = - 1/ ((1-x()

(arctg x)’ = 1/ ((1+x()

(arcctg x)’ = - 1/ ((1+x()

Св-ва:

(u ( v)’ = u’(v + u(v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v(

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :

( xn dx = xn+1/(n+1) + c

( ax dx = ax/ln a + c

( ex dx = ex + c

( cos x dx = sin x + cos

( sin x dx = - cos x + c

( 1/x dx = ln|x| + c

( 1/cos( x = tg x + c

( 1/sin( x = - ctg x + c

( 1/((1-x() dx = arcsin x +c

( 1/((1-x() dx = - arccos x +c

( 1/1+ x( dx = arctg x + c

( 1/1+ x( dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

[pic]

( + ( + ( =180

Теорема синусов

a( = b(+c( - 2bc cos (

b( = a(+c( - 2ac cos (

c( = a( + b( - 2ab cos (

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=((a+b+c)

_____________

S = (p(p-a)(p-b)(p-c)

S = (ab sin (

Sравн.=(a((3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

[pic]

S = (a+b)/2( h

Круг

[pic]

S= (R(

Sсектора=((R(()/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн(Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.(H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S1+S2+(S1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3 (R(H

Sбок. =(Rl

Sбок.= (R(R+1)

Усеченный

Sбок.= (l(R1+R2)

V=1/3(H(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.(H

прямая: Sбок.=Pосн.(H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс(a

V = Sпс(a, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=(R(H ; Sбок.= 2(RH

Sполн.=2(R(H+R)

Sбок.= 2(RH

Сфера и шар .

V = 4/3 (R( - шар

S = 4(R( - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 (R(H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=(H((R-H/3)

S=2(RH

|гр| | | | | | | | | |120|135| |18|

|ад| | | | |0(|30|45|60|90|( |( | |0(|

| | | | | | |( |( |( |( | | | | |

| |-(|-(/|-(/|-(/| |(/|(/|(/|(/|2(/|3(/|3(/| |

|( |/2|3 |4 |6 |0 |6 |4 |3 |2 |3 |4 |6 |( |

|si| |-(3|-(2|- (| | |(2|(3| | | | -| |

|n(|-1|/2 |/2 | |0 |( |/2|/2|1 | | |( |0 |

|co| | | | | |(3|(2| | | - |-(2|- | |

|s(| | | | |1 |/2|/2|( |0 |( |/2 |(3/|-1|

| | | | | | | | | | | | |2 | |

|tg| | | |-1/| |1/| | | | | | | |

|( |( |-(3|-1 |(3 |0 |(3|1 |(3|( |-(3|-1 | |0 |

|ct| | | | | | | |1/| |-1/| | | |

|g(| | | | |--|(3|1 |(3|0 |(3 |-1 | |--|

| | | | | |- | | | | | | | | |

|n|2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |

|2|4 |9 |16|25 |36 |49 |64 |81 |

|3|8 |27|64|125|216|343|512|729|

|4|16|81|25|625|129|240|409|656|

| | | |6 | |6 |1 |6 |1 |

|5|32|24|10|312|777|168|327|590|

| | |3 |24|5 |6 |07 |68 |49 |

|6|64|72|40|156|466|

| | |9 |96|25 |56 |

|7|12|21|

| |8 |81|

|8|25|65|

| |6 |61|

| |-( |(-(|(+(|(/2|(/2|3(/2|3(/2|

| | | | |-( |+( |- ( |+( |

|si|-si|sin|-si|cos|cos|-cos|-cos|

|n |n( |( |n( |( |( |( |( |

|co|cos|-co|-co|sin|-si|-sin|sin(|

|s |( |s( |s( |( |n( |( | |

|tg|-tg|-tg|tg(|ctg|-ct|ctg(|-ctg|

| |( |( | |( |g( | |( |

|ct|-ct|-ct|ctg|tg(|-tg|tg( |-tg(|

|g |g( |g( |( | |( | | |

Файл придуман и сделан Денисом Павлюком (C). Коммерческое

распространение не приветствуется без моего согласия и запрещается. Все

предыдущие ошибки исправлены. Успешно тестировано в МАИ. ( Mizz@ru..ru

, mizz@windoms.sitek.net, Denis_Pavluik@p944.f975.n5020.z2.fidonet.org

, 2:5020/975.944@Fidonet