Шпора

Шпора

| | |Если поверхность задана | | |

| | |явным уравнением , то | | |

| | |cos (=1/(( (1+p2+q2 | | |

| | |n)=1/((1+zx'2+zy'2 ). | | |

| | |В случае явного задания | | |

| | |поверхности | | |

| | |SQ=((((1+zx'2+zy'2)dx dy | | |

| | |=((((1+p2+q2)dx dy | | |

| | |D | | |

| | |D | | |

| | |Если теперь поверхность | | |

| | |Q задана параметрическими| | |

| | |уравнениями | | |

| | |x=x(u,v) | | |

| | |y=y(u,v) (u,v)єG , | | |

| | |z=z(u,v) | | |

| | |где функции x,y,z | | |

| | |непрерывны со своими | | |

| | |частными производными, то | | |

| | |в этом случае площадь | | |

| | |поверхности вычисляется | | |

| | |по следующей формуле | | |

| | |(SQ=((((A2+B2+C2) du dv, | | |

| | |где А,B,C-есть раннее | | |

| | |введенные функциональные | | |

| | |определители. | | |

|Вопрос№11 | |Билет №14 | |Вопрос №16 |

|Если пов-ть Р задана | |Поток вектора через | |Общий вид диф уравнения |

|параметрич. ур-ями | |поверхность | |F(x, y, y’)=0 y’=f(x,y) |

|[pic] | |Пусть задана некоторая | |(1). |

|(u,v)[pic] G | |область(тело) Д(R3 Пусть | |Решением дифференциальное|

|ф-ии x,y,z непрерывны с | |над этой областью | |уравнение первого порядка|

|частными производными то | |определено поле вектора | |называется всякая функция|

|поверхностный интеграл | |[pic](М), М(Д , Аx ,Ay | |y=((x), которая будучи |

|1-го рода вычисл. С | |,Az | |подставлена в данное |

|помощью интеграла | |[pic] | |уравнение обращает его в |

|двойного рода,взятого по | |Возьмем в области Д | |тождество. |

|обл. G по ф-ле: | |некоторую поверхность S | |(’(x)= f (x, ((x)); [pic]|

|[pic] | |обозначим через [pic]- | | |

|Если пов-ть Р задается | |нормальный вектор | |[pic] [pic] |

|явным урав. | |поверхности [pic] | |[pic] |

|Z=F(x,y)=z(x,y) | |-единичный вектор , данного| |Задача Коши для диф. |

|Где (x,y)[pic],причем | |нормального вектора [pic] | |уравнения 1 порядка. |

|ф-ия F-непрерыв. Со | | | |Требуется найти решение |

|своими | |[pic] где (,(,( -углы , | |диф. ур-я (1) |

|Часными произв.,то | |которые образует нормаль с | |удовлетворяющего |

|поверхностный интегр.1-го| |осями координат | |следующему условию [pic] |

|рода | |Потоком вектора [pic] через| |(2). |

|Вычисл.по ф-ле : | |заданную поверхность S (во | |Теорема Коши. |

|[pic][pic] | |внешнюю поверхность) | |Пусть задана на плоскости|

|где P и Q соотв.часные | |называют следующий | |XOY некоторая обл. Д и |

|произв. | |поверхностный интеграл 1-го| |задано диф. ур-е |

|Поверхн.интеграл 2-го | |рода | |разрешённое относительно |

|рода | |[pic] | |производной, тогда если |

|[pic] | |Проекция вектора на ось | |функция f(x, y) и её |

|Криволин.интеграл 2-го | |[pic] | |частная производная |

|рода: | |Ап – проекция вектора [pic]| |[pic]непрерывны в обл. Д,|

|[pic][pic] | |на вектор [pic] Ап | |и [pic] некоторая |

|Пусть задана двусторонняя| |=пр[pic][pic] | |фиксированная точка обл. |

|пов-ть S и на верхн. | |А тогда поток вектора будет| |Д, то существует и |

|Стороне задана ф-ция | |равен | |единственная функция |

|U=F(x,y,z).Разобьем | |[pic] | |y=((x) являющаяся |

|задан. | | | |решением (1) и такая, |

|Повер.S непрерывн.кривыми| | | |которая в т.[pic] |

|на конечное число | | | |принимает значение [pic],|

|Частичных поверх. | | | |т.е. удовлетворяющая |

|S1,S2….Sn.Проэктир.эти | | | |заданному начальному |

|поверх. | | | |условию [pic]. |

|На XOY , | | | |[pic] [pic] |

|[pic][pic]-площадь | | | |Т.е. если существует |

|прэкции повер.Si: | | | |решение диф. ур-я, то |

|[pic][pic] [pic][pic] | | | |таких решений бесконечное|

|Если сущ.предел Lim ( n| | | |множество. |

|при [pic] не зависит | | | |График функции являющийся|

|От способа дел.области на| | | |решением диф. ур-я |

|части и выбора точек Mi, | | | |принято называть |

|То его | | | |интегральной кривой, |

|наз.повер.интегалом 2-го | | | |процесс решение принято |

|рода по поверхн.и | | | |называть интегрированием.|

|Обознач. : | | | | |

|[pic] | | | |Точку[pic]в плоскости XOY|

|Если же проэктировать | | | |называют особой точкой |

|пов-ть на другие | | | |диф. ур-я если в этой т. |

|плоскости ,то | | | |не выполняется условие |

|Получится: | | | |теоремы Коши, т.е. особая|

|[pic][pic][pic] | | | |т. это такая т. через |

|[pic] | | | |которую может вообще не |

|Пусть на пов-ти заданы | | | |проходить ни одной |

|три ф-ции P(x,y,z), | | | |интегральной кривой, либо|

|Q(x,y,z) | | | |проходить множество. |

|R(x,y,z) тогда | | | |Решения диф. ур-я в |

|повер.интегр.2-го рода | | | |каждой т. которого |

|общего вида наз. | | | |нарушается условие |

|[pic]Пусть пов-ть S | | | |единственности из теоремы|

|явл.гладкой | | | |Коши, принято называть |

|поверхн.,такой что в | | | |особым решением диф. |

|каждой точке ее | | | |ур-я. График особого |

|Сущ. Пл-ть такая что в | | | |решения называется особой|

|каждой т.пов-ти | | | |кривой. |

|сущ.нормаль.Обозначим | | | |Определение общего |

|Через | | | |решения диф. ур-я 1 |

|[pic],[pic],[pic]-углы | | | |порядка: |

|,которые образуют углы с | | | |Функция y=((x, C), где С |

|осями OX,OY,OZ. | | | |произвольная константа, |

|Тогда,как и для | | | |называется общим решением|

|криволин.интеграла имеет | | | |диф. ур-я (1) если |

|место форма между | | | |выполнены следующие |

|повер.Интегр.1 и 2 рода: | | | |условия: |

|[pic]Имеет место | | | |Функция y=((x, C) |

|следующ.ф-ла замены | | | |является решением ур-я |

|перем.в пов.интегр.2-го. | | | |(1) при любом значении |

|Пусть пов-ть S задается | | | |произвольной константы С;|

|своими парам.ур-ми: | | | | |

|[pic] | | | |Какова бы ни была т. |

|ф-ции x,y,z –непрерыв.и | | | |[pic]( Д найдётся такое |

|имеют непрер.частн. | | | |значение произвольной |

|произв.Тогда: | | | |константы [pic], что |

|[pic] | | | |функция y=((x,[pic]) |

|[pic] Имеет место ф-ла | | | |удовлетворяет заданному |

|Стакса | | | |начальному условию, т.е. |

|,связывающ.криволин.интег| | | |([pic] |

|рал по контуру | | | |Частным решением данного |

|Пов-ти с повер.интегралом| | | |диф. ур-я называется |

|2-го по задан.пов-ти. | | | |решение этого ур-я |

|Пусть задана некоторая | | | |которое может быть |

|гладкая повер.S на | | | |получено из общего |

|верхн.стороне этой повер.| | | |решения при некотором |

| | | | |фиксированном значении |

|Заданы три ф-ии | | | |произвольной константы С.|

|P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z| | | | |

|) непрерыв.и | | | |Определение: |

|имеющ.непрер. | | | |Если решение диф. ур-я |

|Частн.произв.по своим | | | |(1) может быть получено в|

|аргументам и L-контур | | | |виде[pic], причём это |

|повер.,проходящий в | | | |ур-е не может быть явно |

|Полож.направления.Тогда: | | | |разрешено относительно y,|

|[pic] | | | |то функцию [pic]принято |

|[pic] | | | |называть общим интегралом|

|[pic] | | | |диф. ур-я (1), где С – |

| | | | |произвольная константа. |

| | | | |Если решение получено в |

| | | | |виде [pic], где [pic]- |

| | | | |явная константа – частным|

| | | | |интегралом диф. ур-я. |

| | | | |Особое решение данного |

| | | | |диф. ур-я (1) ни при |

| | | | |каком значении константы |

| | | | |С не может быть получено |

| | | | |из общего решения.. |

| | |Билет №15 | |Билет №13 |

|Вопрос №17 | |Дивергенция , циркуляция | |Криволинейные интегралы в|

|Диф. ур-ем с разделёнными| |ротор вектора | |пространстве и объем тела|

|перемеными принято | |Пусть задана некоторая | |в криволинейных |

|называть ур-е вида (1): | |пространственная область Д | |координатах |

|[pic] (1) | |над которой определенно | |Пусть в пространстве |

|Если y=y(x) является | |поле вектора [pic] и S | |OXYZзадано тело G.И пусть|

|решением ур-я (1), то и | |–некоторая поверхность в | |в другом пространстве |

|правая и левая части | |данной поверхности Д | |OUVW задано тело Д |

|этого ур-я представляют | |Рассмотрим интеграл , | |И пусть заданы 3 функции |

|собой дифференциалы от | |выражающий поток вектора | |[pic] |

|переменной x, т.е. имеем | |через поверхность S | |взаимно однозначно |

|равенство двух | |Обозначим Аx = P(x,y,z) , | |отображающие область Д в |

|дифференциалов, то тогда | |Ay =Q(x,y,z) , Az = | |области G |

|неопределённые интегралы | |R(x,y,z) | |Будем считать функции |

|отличается разве лишь на | |[pic] | |x,y,z –непрерывными и |

|константу. Т.е. | |[pic] | |имеющие непрерывные |

|интегрируя равенство (1),| |поверхность S ограничивает | |частные производные |

|получаем общее решение | |тело Д1 | |Рассмотрим Якобиан |

|данного диф. ур-я: | |[pic] | |[pic] |

|[pic] | |- расходимость (дивергенция| |Можно показать , что в |

|Уравнения с | |) вектора [pic] | |случае взаимно |

|разделяющимися | |[pic] | |однозначного отображения |

|переменными: | |- уравнение | |области Д и G якобиан ни |

|[pic] | |Остроградского-Гаусса | |в одной точке области Д |

|Уравнения, приводящиеся к| |Ап – проекция вектора [pic]| |не обращается в 0 |

|уравнениям с разделёнными| |на нормаль поверхности | |А значит в области Д |

|переменными. | |Циркуляция , вихрь и ротор | |сохраняет один и тот же |

|[pic]докажем, что это | |вектора | |знак Координаты (U,V,W) |

|ур-е можно привести к | |Пусть в пространстве задано| |принято называть |

|ур-ю с разделёнными | |некоторое тело Д и пусть в| |криволинейными |

|переменными. | |теле Д рассматривается | |координатами точек |

|[pic] | |некоторая кривая L , | |области G |

|Т.е. [pic] | |которая гладкая , имеет | |И тогда можно показать , |

|[pic]Если [pic] | |непрерывно изменяющуюся | |что объем области G в |

|[pic]т.е. [pic] | |касательную | |криволинейных координатах|

|[pic] | |Обозначим через (,(,( углы | |выражается по следующей |

| | |, образует касательная к | |формуле |

|Пример: | |кривой L с осями координат | |[pic] |

|[pic] | | | |Если теперь в области G |

| | |Пусть над этим телом | |будет задана функция |

| | |определенно поле вектора | |f(x,y,z) –непрерывная в |

| | |[pic] | |этой области, то |

| | |Тогда криволинейный | |справедлива следующая |

| | |интеграл по кривой L | |формула замены переменных|

| | |[pic] | |в тройном интеграле |

| | |Рассуждая как и прежде | |[pic] |

| | |можно показать , что [pic] | |При замене переменных в |

| | |L0 - единичный вектор | |тройном интеграле |

| | |касательной L1 | |наиболее часто |

| | |L1 - касательный вектор к | |используются |

| | |кривой L | |цилиндрические и |

| | |Если кривая L является | |сферические координаты |

| | |замкнутой кривой , то такой| |Под цилиндрическими |

| | |интеграл принято называть | |координатами следует |

| | |циркуляцией вектора [pic] | |понимать объединение |

| | |вдоль замкнутого контура L | |полярных координат на |

| | |[pic] - циркуляция [pic] | |плоскости XOY и аппликаты|

| | |Пусть теперь в некоторой | |z (,(,z |

| | |области Д задана | |[pic] |

| | |поверхность S , контур | |(-расстояние от начала |

| | |которой обозначим через L | |координат до проекции тМ |

| | |[pic] | |на плоскость |

| | |[pic] | |(-угол , образованный |

| | |- формула Стокса | |радиус вектором ОМ , в |

| | |[pic] | |пол направлении |

| | |Ротором векторного поля | |[pic] циллиндрические |

| | |[pic] называется вектором | |координаты |

| | |(или вихрем) , имеющий | |0( ( < +( , 0( ( < 2( , |

| | |следующие координаты и | |-(< z < +( |

| | |обозначающиеся | |Подсчитаем якобиан в |

| | |[pic] | |случае цилиндрических |

| | |Циркуляцией вектора [pic] | |координат |

| | |вдоль поверхности S равна | |[pic][pic] |

| | |потоку вектора [pic] через | |[pic] |

| | |заданную поверхность S | |(- угол , образованный |

| | |[pic] - формула Стокса | |проекцией радиус-вектора |

| | | | |тМ |

| | | | |(-угол, образованный |

| | | | |радиус-вектором тМ |

| | | | |(- радиус-вектор тМ, |

| | | | |равный ОМ |

| | | | |Сферическими координатами|

| | | | |принято называть (,(,( |

| | | | |Где (- расстояние от |

| | | | |начала координат до тМ |

| | | | |(- угол , образованный |

| | | | |радиус-вектора с осью Z |

| | | | |(- угол, образованный |

| | | | |проекции радиус-вектора с|

| | | | |осью X |

| | | | |(=(ОМ) 0( ( < +( , 0(|

| | | | |( < ( , 0 < ( < 2( |

| | | | |Найдем якобиан для |

| | | | |сферических координат |

| | | | |[pic][pic] [pic] |

| | | | |=cos([(2 cos2 (cos( sin( |

| | | | |+ (2 sin2 ( sin( cos(] + |

| | | | |(sin( [( sin2 ( cos2 ( + |

| | | | |( sin2 ( sin2 (] =(2 cos2|

| | | | |( sin( + (2 sin3 (=(2 sin|

| | | | |( I((,(,()=(2sin( |

|Вопрос №18 | |Билет№20 Линейные диф. | |Билет №22 |

|Пусть задана функция | |Уравнения1- порядка. Метод | |Уравнение Бернулли и |

|[pic]в области Д, | |подстановки. | |Рикотти и их решение. |

|полкости XOY, функцию | |Линейным уравнением 1-го | |Уравнение Бернулли – это |

|[pic] называют однородной| |порядка называют | |диф. Ур-е следующего вида|

|функцией m-той степени | |уравнения вида: | |: |

|относительно переменных x| |y’+yP(x)=Q(x) – где P(x) и | |[pic][pic] |

|и y, если каково бы ни | |Q(x) некоторые | |где P(x) и Q(x) – |

|было число t>0, | |функции переменной х , а y’| |непрерывные функции m – |

|выполняется равенство: | |и y входят в уравнение | |действительное число (0 и|

|[pic] | |в 1 степени. | |(1 |

| | |1.Метод подстановки: | |разделим уравнение на ym|

|Пример: [pic] | |Будем искать решение | |: |

|Определение: диф. ур-е 1 | |уравнения 1 в виде | |[pic] - приведем его к |

|порядка разрешённое | |произведения y=U(x)V(x) при| |линейному |

|относительно производной | |чём так, что мы | |Обозначим через [pic] а |

|называется однородным | |можем подобрать одну из | |теперь диференциируем |

|диф. ур-ем 1 порядка, | |функций по желанию, | |[pic] |

|если его правая чаcть | |а вторую так, чтобы | |теперь подставим в |

|(функция f(x,y)) является| |удовлетворяла (1) : | |уравнение |

|однородной функцией 0-й | |y’=U’V+UV’ ; | |[pic] |

|степени. | |U’V+UV’+UV*P(x)=Q(x) ; | |получили линейное |

|Метод решения: Пусть (1) | |U’V+U(V’+V*P(x))=Q(x) | |уравнение . |

|является однородным | |Найдём V ,чтобы V’+VP(x)=0 | | |

|уравнением [pic](1). | |: | |Уравнение Рикотти – это |

|[pic] Пусть [pic] | |[pic] [pic] | |диф. следующего вида |

|[pic] | |[pic] Тогда U’V=Q(x) | |[pic] |

|2) если [pic]то [pic] | |[pic] | |Где P(x),q(x),r(x) – |

|т.е. [pic] | |[pic] [pic] | |некоторые непрерывные |

| | |[pic] | |функции |

| | |y’+y cos(x)=1/2 sin(2x) | |Рассмотрим несколько |

| | |y=UV | |случаев |

| | |U’V+UV’+UVcos(x)=sin(x)cos(| |1) если ф-ции P(x) , Q(x)|

| | |x) | |и r(x) – явл. Константами|

| | |V’+Vcos(x)=0 | |то в этом случае сущ. |

| | |dV/V=-cos(x)dx | |решением ур-я Рикотти |

| | |ln(V)= -sin(x) | |т.к. в этом случае ур-е |

| | |V=e-sin(x) | |явл. Ур-ем с разделенными|

| | |[pic] | |переменными . |

| | |sin(x)=t [pic] | |[pic] |

| | |[pic] | |2) если q(x)=0 имеем лин.|

| | | | |Ур-ние |

| | | | |3) если r(x)=0 то имеем |

| | | | |ур-е Бернулли |

| | | | |Если не выполяется ни |

| | | | |одно из этих 3 условий , |

| | | | |то ур-е Рикотти решить |

| | | | |нельзя , неразрешимо в |

| | | | |квыадратурах . Однако |

| | | | |если эти три случая , но|

| | | | |возможно найти хотя бы |

| | | | |одно частное решение |

| | | | |этого ур-я то ур-е |

| | | | |решается в квадратуре . |

| | | | |Установим это : пусть |

| | | | |[pic]- явл. Часным |

| | | | |решением ур-я Рикотти |

| | | | |т.е. |

| | | | |[pic] |

| | | | |тогда введем новую |

| | | | |функцию z=z(x) |

| | | | |Положем [pic] , [pic] |

| | | | |Подставив в уравнение |

| | | | |получим |

| | | | |[pic] |

| | | | |а это ур-е Бернулли |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

|Билет №23 | |Билет№21. | |Билет№19 Уравнения, |

|Уравнение в полных | |Метод вариации производной | |приводящиеся к |

|дифференциалах и их | |постоянной при решении | |однородным. |

|решение | |линейного диф. уравнения | |К таким уравнениям |

|Пусть задано диф. ур-е | |1-го порядка. | |относят уравнения вида: |

|ел. Вида: | | | |[pic] где a,в,с - |

|[pic] | |y’+P(x)y=Q(x) (1) | |const |

|где P(x,y) и Q(x,y) – | |-задано линейное | |1)[pic]Введём:[pic] чтобы|

|непрер. Функции имеющие | |неоднородное уравнение. | |исчезли с1 и с2 |

|непрерыв часн. | |Рассмотрим соотв. ему | |[pic] [pic] После |

|Производную 2 порядка | |однородное уравнение | |нахождения конкретных k и|

|включительно. | |y’=P(x)y=0 (2). Найдём | |h и подстановки их в наше|

|Диф. ур. Назыв. Ур-ем в | |общее решение: | |уравнение, с учётом того,|

|полных диф-лах , если | |[pic] [pic] | |что [pic] получаем :[pic]|

|[pic] такое что | |[pic] [pic] | |Это уравнение является |

|[pic] | | | |однородным и решается |

|т.е. ур. В этом случае | |Будем искать решение в том | |подстановкой [pic] |

|имеет вид :[pic] | |же виде, что и однородного,| |2). [pic] Тогда: [pic] |

|это уравнение явл полным | |только считая с не | |[pic] [pic] Подставим |

|диф. функции U как ф-ции | |произвольной константой ,а | |:[pic] Сделаем |

|двух переменных: | |функцией от х : [pic] | |замену:[pic] [pic] |

|[pic][pic] | |[pic] | |[pic] [pic] |

|если выполняется | | | |[pic] [pic] [pic] |

|равенство тогда то левая | | | |1). [pic]Допустим [pic] |

|часть [pic] а тогда его | | | |[pic] [pic] |

|решение | | | |?(z)=x+c |

|[pic] - общий интеграл | | | |?(a2x+b2y)=x+c |

|диф. Ур. | | | | |

| | | | |2). Теперь допустим[pic]|

|Теорема о необходимости и| | | |Тогда получим z=c. |

|достаточности условия | | | | |

|того что Ур было ур-ем в | | | | |

|полных дифференциалах | | | | |

|Теорема : Для того чтобы | | | | |

|ур было ур-ем в полных | | | | |

|диф. в некоторой Д | | | | |

|принадл ХОУ | | | | |

|Необх. И дост. Чтобы во | | | | |

|всех точках обл. Д выполн| | | | |

|равенство [pic] если | | | | |

|условие выполняется можно| | | | |

|найти ф-цию [pic] что | | | | |

|будет выполняться рав-во | | | | |

|след. Образом. | | | | |

|[pic] | | | | |

|найдем [pic] | | | | |

| | | | | |

|Билет №24 | |Вопрос №26. | |Билет 28. |

|Интегральный множитель и | |Уравнение вида: f(x,y()=0. | |Ур-ние Логранжа |

|его нахождение | |1) Предположим, что данное | |Ур. Лог.имеет следующий |

|Пусть задано диф. ур-ние| |уравнение можно разрешить | |вид[pic] |

|в диф. форме вида : | |относительно y(; y(=fk(x), | |где ф-ция[pic]и |

|[pic] | |k=1,2,… | |[pic]непрерывная и |

|не всякое такое уравнение| |[pic] Получим совокупность| |сменная производная по |

|явл. Уравнением в полных | |таких решений. Она является| |своему аргументу. |

|виференциалах однако | |общим решением данного | |Покажем что путём |

|доказано что для всякого | |уравнения. | |диф-ния и введения |

|такого ур-я может быть | |[pic] | |параметра можно получить |

|подобрана ф-ция | |[pic] | |общее решение |

|[pic]такая что после | |………………………………. | |в параметрической |

|умножения левого и | |[pic] | |форме.Пусть у`=p=p(x) |

|правого ур-я на эту | |2) Пусть оно не разрешается| |Подставляем в ур. |

|функцию данное уравнение | |относительно y( и | |[pic] (1) |

|стан ур-ем в полных диф. | |разрешается относительно x.| |Продиф-ем на х |

|Ф-цияю [pic]назыв | |Пусть оно эквивал. Такому | |[pic] |

|интегральным множителем | |x=((y(). Будем искать | |[pic] |

|данного уравнения | |решение данного уровнение в| |Рассмотрим два случая: |

|Найдем функцию | |параметрической форме. | |[pic] |

|определяющую интегр. | |y(=p=p(x). | |[pic] |

|Множитель данного | |Пусть x=((p), А y | |[pic][pic] |

|уравнения: | |ищем так: | |Будем смотреть на это |

|[pic] | |dx=(((p)dp | |ур-ние как наур-ние |

|тогда должно выполн. | |dy=y(dx=p(((p)dl. | |от неизв. Ф-ции х, |

|Рав-во: | |Отсюда [pic] | |которая в свою очередь |

|[pic] | |Тогда общее решение [pic] | |явл. |

|имеем уравнение в частных| |3) Предположим, что ур-ние | |Ф-цией параметра р.Тогда |

|производных относит неизв| |не разрешено не относ. х, | |имеем обычное |

|функции Мю.Общего метода | |не относ. y(, но оно может | |инт.ур.относительно |

|нахожения которой не | |быть представлено в виде | |неизв.ф-ции, которую |

|существует | |с-мы двух ур-ний, | |можем найти. |

|Найдем интегр множитель в| |эквивалентных данному | |Пусть общим интегралом |

|случае если он явл ф-цией| |ур-нию: [pic]( ( t ( ( | |этого ур.будут |

|от одной из перемен. | |dy=y(dx dx | |F(p,е,c)=0 (2) |

|1)Найдем условие при | |=(((x)dt | |Объеденим (2) и (1) |

|которых [pic] функция | |dy=((t)* (((t)dt | | |

|[pic]должна удовлетв | |Тогда парметрическое | |[pic] |

|равенству | |решение данное ур-я | |[pic] |

|[pic] ;[pic]будет | |[pic] | |А это и есть общее |

|зависеть только от Х если| | | |решение ,представленое |

|правая часть ур будет | | | |через параметр Р. |

|зависеть только от Х | | | |2)[pic] ,тогда Р=0,но |

|2) Аналогично и | | | |такая constanta, |

|[pic]=[pic](У) | | | |что удовлет. решению ур. |

|[pic] ;[pic]будет | | | |:[pic] |

|зависеть только от Х если| | | |Пусть РI(I=1,2,..) будут |

|правая часть ур будет | | | |решением этого ур. |

|зависеть только от У | | | |Тогда решением |

| | | | |первоначального ур.А. |

| | | | |будут ф-ции [pic], |

| | | | |которые явл. Особыми |

| | | | |решениями ур. А. |

| | | | |И не могут быть получены |

| | | | |общим решением. |

| | | | |Ур.Клеро. |

| | | | |Ур.Клеро имеет вид |

| | | | |[pic]где |

| | | | |[pic]-непрер. и |

| | | | |симетр.произв.по своему |

| | | | |аргументу. Вводим |

| | | | |параметр [pic]. |

| | | | |Тогда [pic] (3) |

| | | | |Диф-ем по Х [pic] |

| | | | |Если [pic],то р=е, а |

| | | | |тогда |

| | | | |подставляем в (3)и |

| | | | |получаем:[pic] |

| | | | |[pic]явл. общим решением |

| | | | |ур. Клеро |

| | | | |[pic]тогда имеем |

| | | | |параметрическое ур. |

| | | | |[pic]общее реш. |

| | | | |[pic][pic] [pic] |

| | | | |Пример[pic] |

| | | | |Замена [pic] |

| | | | |[pic] |

| | | | | |

| | | | |[pic] |

| | | | |общее решение: |

| | | | |[pic] |

| | |Билет 27. | |Билет 25. |

| | |Уравнение вида F(y,y`)=0 | |Рассмотрим несколько |

| | |1)Пусть ур-ние разрешимо | |случаев: |

| | |относ. | |1.Пусть задано следющее |

| | |y`,тогда y`=fk(y) Разрешим | |диф. ур-ние: |

| | |относ. y, где к=1,2…. | |[pic] |

| | |[pic][pic]k(y) . | |Это диф. ур-е 1-го |

| | |Пустьfk(y)[pic]0 тогда | |порядка n-ой степени, где|

| | |[pic][pic] | |(I (x;y) – некото- рые |

| | |Считаем х-функцией от у. | |непрырывные ф-ции двух |

| | |[pic]. [pic] | |переменных в некоторой |

| | |[pic]-это общий интеграл | |обл. Q ( R2 (i=0,…,n). Мы|

| | |данного ур-я . | |имеем ур-е n-ой степени |

| | |[pic] общее решен.х. | |относительно 1-ой |

| | |Пусть fk(y)=0 . Тогда | |производной, а известно, |

| | |решен.данного ур-я | |что всякое ур-е n-ой |

| | |могут быть ф-ции | |степени имеет вточности |

| | |[pic],где[pic]- консты, | |n-корней, среди которых |

| | |причём | |есть как действительные |

| | |такие,которые | |так и комплексные. Пусть |

| | |удовлнтв.условиюF[pic] | |например это ур-е имеет |

| | |2)Пусть ур-ние не | |какоето количество m ( n |

| | |разр.относ.у,, но разреш. | |действительных корней. |

| | |отн. y, т.е. пусть | |Т.к. коэффициенты этого |

| | |наше ур-е эквивал. | |ур-я являются ф-циями |

| | |Ур-нию[pic]Тогда общее | |двух переменных, то ясно,|

| | |реш.розыскивается в | |что корни тоже будут |

| | |парометрич. форме.Вводят | |ф-циями двух переменных. |

| | |параметры таким образом | |Пусть это будут решения |

| | |[pic] | |y1=fk(x;y), k=1,2…m. |

| | |а)пусть [pic]тогда | |Ур-е (1) свелось к m - |

| | |[pic], | |ур-ий 1-го порядка. |

| | |а тогда: | |Пусть это ур-я, имеющие |

| | |[pic]- общее решение в | |общий интеграл |

| | |пар-ой форме | |Fk=(x;y;c)=0, k=1,2…n. |

| | |[pic] | |Тогда совокупность всех |

| | |б) пусть у’=0, тогда | |этих общих интегралов |

| | |у=const | |[pic] |

| | |Решением ур-ния будут ф-ции| |и будет общим решением |

| | |у=[pic]к , | |данного диф. ур-я (1). |

| | |какие удовлет.ур-ние | |Пример: |

| | |F([pic]k,0)=0 | |[pic] |

| | |Пример: решить ур. [pic] | |Пусть x=0,а ур-ние |

| | |Разреш. относ. У | |разделим на x |

| | |.тогда[pic] | |[pic] [pic] |

| | |[pic] | |[pic] [pic] |

| | |[pic] | |[pic] [pic] |

| | |[pic]; [pic] | |[pic][pic] |

| | |[pic] | |[pic] [pic] |

| | | | |[pic] [pic] |

| | | | |Ур-я вида: F(y!)=0 |

| | | | |Пусть заданное диф. ур-е |

| | | | |явно зависит только от y!|

| | | | |и не зависит явно от x и |

| | | | |y. Тогда мы имеем |

| | | | |некоторое алгебраическое |

| | | | |ур-е относительно |

| | | | |производных. А такое |

| | | | |алгебраическое ур-е пусть|

| | | | |имеет конечное или |

| | | | |бесконечное множество |

| | | | |действительных решений |

| | | | |относительно производных.|

| | | | |Т.е. y! = ki , i= 1,2… , |

| | | | |где ki – некоторые |

| | | | |действительные числа. У |

| | | | |нас выполняется условие |

| | | | |F(ki)(0. Решим ур-е |

| | | | |y!=ki; y=kix+c; |

| | | | |ki=(y-c)/x. Общий |

| | | | |интеграл заданного диф. |

| | | | |ур-я |

| | | | |[pic] |

| | | | |Пример: |

| | | | |(y!)4-4(y!)2+1=0 |

| | | | |k4-4k2+1=0 |

| | | | |действительные корни есть|

| | | | | |

| | | | |Значит сразу получаем |

| | | | |общее решение |

| | | | |[pic] |

Страницы: 1, 2