Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

|Осн. понятия |Сходящиеся и |Экспонента или |Предел ф-ции в |Пределы ф-ции на|

|Грани числовых |расходящиеся |число е |точке |бесконечности |

|мн-в |посл-ти |Ф-ции одной |Свойства предела|Два |

|Числовые |Св-ва сходящихся|переменной |ф-ции в точке |замечательных |

|последовательнос|посл-тей |Обратные ф-ции |Односторонние |предела |

|ти |Теорема «Об | |пределы ф-ции в |Б/м ф-ции и их |

|Непр. ф-ции на |единственности | |т-ке: |сравнения |

|пр-ке |пределов» | |Предел ф-ции в |Непрерывные |

| |Теорема | |т-ке |ф-ции. |

| |«Сходящаяся | |Предел и |Непрерывность. |

| |посл-ть | |непрерывность | |

| |ограничена» | |функции | |

| |Теорема «О | |Предел. | |

| |сходимости | |Односторонний | |

| |монотон. | |предел. | |

| |посл-ти» | | | |

|1. Осн. понятия |4. Сходящиеся и |6. Экспонента |Предел ф-ции в |11. Пределы |

|Мат.модель – |расходящиеся |или число е |точке |ф-ции на |

|любой набор |посл-ти |Р-рим числ. |y=f(x) X |бесконечности |

|кр-ний; |Большое внимание|посл-ть с общим |опр. ( {xn} (X, |Они нужны для |

|неравенств и |уд-ся выяснению |членом |xn(x0 |исследования |

|иных мат. |вопроса: |xn=(1+1/n)^n (в |f(xn)(A,=> f(x) |поведения ф-ции |

|Соотношений, |обладает ли |степени n)(1) . |в т. x0 (при , |на переферии. |

|которая в |данная посл-ть |Оказывается, что|xn(x0) предел = |Опр. ф-ция f(x) |

|совокупности |сл-щим св-вом |посл-ть (1) |А |имеет предел |

|описывает |(сходимости) при|монотонно |А=lim(x(x0)f(x) |число А при x(+(|

|интересующий нас|неогранич. |возр-ет, |или f(x)(A при |если ( {xn} |

|объект. |Возрастании |ограничена |x(x0 |которая (к +( |

|Мн-во вещест. |номеров посл-ти |сверху и сл-но |Т-ка x0 может ( |соответствующая |

|чисел |эл-ты посл-ти |явл-ся |и ( мн-ву Х. |ей |

|разбивается: на |сколь угодно |сходящейся, | |последовательнос|

|рационал. и |близко |предел этой |Свойства предела|ть {f(xn)}(A в |

|иррац. Рац. – |приближаются к |пос-ти наз-ся |ф-ции в точке |этом случае мы |

|число, которое |некоторому числу|экспонентой и |1) Если предел в|пишем |

|можно |а или же этого |обозначается |т-ке сущ-ет, то |lim(x(+()f(x)=A.|

|представить в |св-ва нет. |символом |он единственный |Совершенно |

|виде p/q где p и|Опр Если для |е(2,7128… |2) Если в тке х0|аналогично с -(.|

|q – цел. числа. |любого ( >0 |Док-ть |предел ф-ции | |

|Иррац. – всякое |найдется такой |сходимость |f(x) |Опр. Будем |

|вещественное |номер N, для |посл-ти (1) |lim(x(x0)f(x)=A |говорить что |

|число, которое |любого n |Для док-ва |lim(x(x0)g(x)(B=|ф-ция f(x) имеет|

|не явл. |>N:(xn-a(< ( |введем вспом-ю |> то тогда в |пределом число А|

|рационал. |Все посл-ти |ф-цию |этой т-ке ( |при x(( {f(xn)} |

|Любое вещ. число|имеющие предел |y=(1+x)^1/x, x>0|предел суммы, |сходится к А |

|можно |наз-ся |Ясно что при |разности, |Бесконечные |

|представить в |сходящимися, а |знач. |произведения и |пределы ф-ции |

|виде бесконеч. |не имеющее его |x=1,1/2,1/3,…,1/|частного. |Вводятся как |

|десят. Дроби а, |наз-ся |n,… значение |Отделение этих |удобные |

|а1,а2…аn… где а |расходящимися. |ф-ции y |2-х ф-ций. |соглашения в |

|–люб. число, а | |совпадает с |а) |случае, когда |

|а1, а2 … аn |Связь сходящихся|соответствующими|lim(x(x0)(f(x)(g|конечные пределы|

|числа, приним. |посл-тей и б/м. |эл-ми (1). |(x))=A(B |не (-ют. |

|целые знач. |Дает сл. теорему|Док-м что ф-ция |б) |Р-рим на |

|Некоторые | |у монотонно |lim(x(x0)(f(x)(g|премере: |

|числовые |Теорема Для того|убывает и огран.|(x))=A(B |lim(x(o+)(1/x) |

|множества. |чтобы посл-ть xn|сверху => |в) |Очевидно не |

|Мн-ва – |имела пределом |монотонное возр.|lim(x(x0)(f(x):g|сущ-ет, т.к. для|

|первичное |число а |посл-ти (1) и |(x))=A/B |( {xn}(+о |

|понятие, на |необходимо, |ограниченность |г) lim(x(x0)C=C |посл-ть |

|уровне здравого |чтобы эл-ты этой|ее сверх. |д) |{f(xn)}={1/xn}, |

|смысла, его не |посл-ти можно |Поскольку lg x |lim(x(x0)C(f(x)=|а числ. посл-ть |

|возможно точно |было представить|явл-ся монотонно|C(A |сводятся к +(. |

|определить. |в виде xn=a+(n, |возр., но |Док-во xn(x0, ( |Поэтому можно |

|Для описания |где посл-ть |монотонное убыв.|lim(x(x0)f(x)=A |записать |

|мн-в единая |{(n}(0, т.е. |ф-ции у и ее |по опр. f(xn)(A|lim(x(o+)1/x=+( |

|символика, а |является б/м. |огранич. сверху |{f(xn)} |что говорит о |

|именно, если в |Док-во |эквивалентны |Односторонние |неограниченных |

|мн-во А входят |а) Допустим, что|том, что ф-ция |пределы ф-ции в |возрастаниях |

|только эл. х, |xn(a и укажем |lgy, которая |т-ке: |предела ф-ции |

|которые обладают|посл-ть (n |равняется |Опр. А - предел |при приближении |

|некоторым св-вом|удовл. равенству|1/хlg(1+x) (2) |ф-ции f(x) |к 0. |

|S(x), то тогда |xn=a+(n. Для |имеет те же |справа от точки |Аналогично с -(.|

|мн-во А |этого просто |самые св-ва, |х0, если f(x)(A | |

|описывается |положим (n=xn-a,|т.е. 0<x1<x2, то|при х(х0, и x>x0|Более того |

|А=. |n(((xn-a( равно |1/x1(lg(1+x1)>1/|Формально это |употребляются в |

|Подмн-ва – если |растоянию от xn |x2( (lg(1+x2) |означает, что |качестве предела|

|А и В 2 мн-ва и |до а ( 0 => (n |(3). Огранич. |для любой |ф-ции в данной |

|все эл-ты мн-ва |б/м и из |сверху ( |посл-ти {xn}(x0,|т-ке лишь |

|А сод-ся в В, то|равенства |M:1/xlg(1+x)(lgM|вып-ся условие |условно и |

|А наз-ся |преобразования |(x>0 (4). |xn>x0, f(x)(A. |означают |

|подмн-вом В, А |определяю (n |Возьмем любую |Обозначим |например, что |

|В, если в В |получаем |лин. ф-цию вида |f(x0+0) и f(x0+)|если {xn}(x0 то |

|сод-ся эл-ты |xn=a+(n. |y=kx которая |lim(x(x0+0)f(x)(|{f(xn)}(((,( |

|отличные от | |превосходит | |12. Два |

|эл-тов мн-ва А, |Свойство б/м |lg(1+x) при всех|И также с |замечательных |

|то В строго шире|Если {xn},{yn}- |x>0. |минусами. |предела |

|А, то А наз-ся |любые посл-ти, |tg(1=(lg(1+x1))/|Признак ( |1) |

|собственным |то их сумма |x1 |предела |lim(x(0)sin/x=1 |

|подмн-вом В. |{xn+yn}, это |(1>(2=>tg(1>tg(2|Т-ма Для того | |

|А(В. А=В- мн-ва |есть пос-ть с | |чтобы f(x) имела|2) Явл. |

|совпадают. |общим членом |tg(2=(lg(1+x2))/|предел в т-ке х0|обобщением |

|Операции с |xn+yn. |x2 |необх., тогда в |известного |

|мн-воми А |Аналогично с |Поскольку (1>(2,|этой т-ке ф-ция |предела о |

|В= |частным и |это равносильно |совпадающ. Между|Справедливо сл. |

|– обьединение |умножением. |равенству (3). |собой одностор. |предельное |

|мн-в А и В. |Т-ма о св-вах |Поскольку |предел |соотношение: |

|А( В=х(В пересечение|а) {xn}и{yn}-б/м|=> kx> |(1), которые |n=e (1) |

|мн-в А и В. |пос-ти, б/м |>lg(1+x) (x>0 |равны пределу |lim(n(0)(1+x)^1/|

|А\ В=х(Вдополн. к |разность и |внимания ф-ции у|Док-во. f(x) |t=1/x => при х(0|

|м-ву В во мн-ве |произведение |с пос-ть xn |имеет в т-ке х0 |t(( из предела |

|А |являются б/м |приходим к |предел А, тогда |(2) => lim(x(() |

|Числовые мн-ва |2) Произведение |нужному |f(x)(A |(1+1/x)^x=e (3) |

| |любой огранич. |утверждению. |независимо от |Док-во |

|R,N,Z,Q - |посл-ти на б/м |Число е явл-ся |того |1)x(+( n x:n=[x]|

|стандартные |являются б/м |неизбежным |приближается ли |=> n(x<n+1 => |

|обозначения мн-в|!О частном не |спутником |х к х0 по |1/(n+1)<1/x<1/n |

|на числ. прямой.|говорят, т.е. |динамических |значению больше |Посколько при |

|(а,в)= {х(а<х<в}|частное б/м |процессов: почти|х0 или меньше |ув-нии основания|

|– интервал из R |может не быть |всегда |это означает |и степени у |

|(открытый |б/м. |показатели |равенство (1) |показательной |

|промежуток, т.к.|Посл-ть {xn} |изменяющиеся во | |ф-ции, ф-ция |

|не содержит |явл. б/б, если |времени |Предел ф-ции в |возрастает, то |

|границ) |для любого числа|характеризующие |т-ке |можно записать |

|[а,в] – |с>0 сущ-ет номер|такие процессы |Число А наз-ся |новое |

|замкнутый |N для всех |зависят от |пределом ф-ции в|неравенство |

|промежуток сод.|номеров n>N |времени через |т-ке х0 если |(1/(n+1))^n((1+1|

|гранич. т-ки. |(xn(>c. |экспонициальную |((>0 найдется |/n)^x( |

|(а,в] – |!Понятие б/б не |ф-цию y=e^x и ее|такое число В>0,|(1+1/n)^(n+1) |

|полуинтервал. |совпадает с |модификации. |для всех х |(4) |

|Окрестностью |неограниченной: |Пр-р: если |отличных от х0 и|Рассмотрим |

|т-ки х наз-ся |посл-ть может |ставка сл-ных % |(х-х0)<0 должно |пос-ти стоящие |

|любой интервал |быть неогранич.,|равна r и |(f(x)-A(<( |справа и слева. |

|содержащий т-ку |но не является |инвестор положил|( ( >0 из |Покажем что их |

|х, необязательно|б/б. |в банк |(х-х0(<( должно |предел число е. |

|симметричную. |Пример |первоначальный |быть |Заметим (х(+(, |

|2. Грани |1,1/2,3,1/4,5,1/|вклад равный Р |Пусть |n(() |

|числовых мн-в |6,7… явл. |причем % |(f(x)-x0(<(, |lim(n(()(1+1/(n+|

|Пусть Х – |неогранич., т.е.|начисляются m |если (=(, то |1))=lim(n(()(1+1|

|непустое мн-во |принимает сколь |раз в год (r- |(х-х0(<( => |/(n+1))^n+1-1= |

|веществ. чисел. |угодно большие |годовая ставка)|(f(x)-x0(<( |lim(n(()(1+1/(n+|

|Мн-во Х назся |по модулю |тогда через n- | |1))^n+1(lim(n(()|

|огран. |значения, однако|лет наращенная |Свойства |1/(1+1/(n+1))=e |

|сверху(снизу), |в ней имеются |сумма нач-ся по |пределов. |lim(n(()(1+1/n)^|

|если сущ-ет |эл-ты со сколь |ф-ле сл. % при m|Непрерывность |n+1= |

|число с такое, |угодно большими |кратном их |ф-ции. |lim(n(()(1+1/n)^|

|что для любого х|номерами |начислению. |Ф-ция f(x) |n( |

|Х вып-ся |принимающие |Sn=P(1+r/m)^mn |непрерывна в |lim(n(()(1+1/n)=|

|неравенство |дробные знач. и |(5) Предположим |т-ке х0 если |e(1=e |

|с(х(х(с). Число |сколь угодно |теперь % нач-ся |предельное |2) x(-(. Сведем |

|с наз-ся |малые по модулю.|непрерывным |значение в этой |эту ситуацию к |

|верхн.(нижн.) | |образом, т.е. |т-ке равно |пред. Случаю |

|гранью мн-ва Х. | |число периодов |самому знач. в |путем замены |

|Мн-во, огран. |Св-ва сходящихся|нач-ния |этой точке. |переменной y=-x |

|сверху и снизу |посл-тей |неограничено |Предел и |=> y(+(, при |

|наз-ся |Теорема «Об |ув-ся. Мат-ки |непрерывность |x(-(. |

|ограниченым |единственности |это соотв-ет |функции |lim(x(-()(1+1/x)|

|Если мн-во имеет|пределов» |тому, что |Пусть ф-ция f(x)|^x=lim(y(+()(1-1|

|1 верхнюю грань |Если посл-ть xn |выражение (5) |определена на |/y)^-y= |

|то она имеет их |сходится, то она|надо р-равать, |некотором пр-ке |lim(y(+()((y-1)/|

|бесчисленное |имеет |как общий член |Х* и пусть точка|y)^y=lim(y(+()(1|

|мн-во. |единственный |посл-ти Xm, а |х0(Х или х0(Х. |+1/(y-1))^y=e |

|Пример X=R+ - |предел. |непрерывному |Опр. Число А |3) Пусть x(( |

|ограничено |Док-во (от |нач-нию соот-ет |наз-ся пределом |произвольным |

|снизу, но не |противного) |наращенная ф-ция|ф-ции f(x) в |образом это |

|сверху, значит |{xn} имеет два |lim(n(()P(1+r/m)|точке х=х0, если|означает при |

|не ограничено. |разл. Предела a |^mn=Pe^rn |для ( (>0 ( (>0 |любом любом |

|Точные грани |и b, а(b. Тогда |Lg(e)x имеет |такое, что для |выборе посл-ти |

|числовых мн-в |согласно |спец. |всех х(Х, х(х0, |xn сходящихся к |

|Пусть мн-во Х |определению |Обозначение lnx.|удовлетвор. |(( мы должны |

|ограничено |пределов любая | |неравенству |иметь в силу (3)|

|сверху, если это|из окрестностей |Принцип |(х-х0(<(, |соотношение |

|мн-во содержит |т. а содержит |вложенных |выполняется |lim(x(()(1+1/xn)|

|макс число, т.е.|все эл-ты |отрезков |неравенство |^xn=e (5) |

|наименьшую из |посл-ти xn за |Пусть на |(f(x)-A(<(. |Условие 5~3, т.е|

|своих верхних |исключением |числовой прямой |Пример Используя|расшифровка 3 на|

|граней, то это |конечного числа |задана посл-ть |определение, |языке посл-ти. |

|число назся макс|и аналогичным |отрезков |док-ть что ф-ция|Выделим из |

|мн-ва Х и |св-вом обладает |[a1,b1],[a2,b2],|f(x)=C(C-некотор|посл-ти xn 2 |

|обозначается |любая |…,[an,bn],… |ое число) в |подпосл-ти: |

|Х*=maxX. Если |окрестность в |Причем эти |точке |{x‘n}(+(, |

|мн-во содержит |точке b. Возьмем|отрезки удовл-ют|х=х0(х0-любое |{x‘‘n}(-(. Для |

|мин число Х* , |два радиуса (= |сл. усл.: |число) имеет |каждой посл-ти |

|то оно min мн-ва|(b-a)/2, т.к. |1) каждый |предел, равный |по доказанному в|

|Х |эти окрестности |посл-щий вложен |С, т.е. lim |п.1 и п.2 |

|Пример Х=[0,1) |не пересекаются,|в предыдущий, |(x(x0)C=C |справедливо |

|то max[0,1) не |то одновременно |т.е. |Возьмем любое |предельное |

|(. min [0,1)=0 |они не могут |[an+1,bn+1]([an,|(>0. Тогда для |соотношение 5 |

|Число Х* наз-ся |содержать все |bn], (n=1,2,…; |любого числа (>0|если заменить |

|точной верхн. |эл-ты начиная с |2) Длины |выполняется |xn(x‘nx‘‘n. По |

|гранью, мн-ва Х,|некоторого |отрезков (0 с |треюуемое |т-ме о связи |

|если во-первых |номера. Получим |ростом n, т.е. |неравенство |13. Б/м ф-ции и |

|оно явл. верхн. |противоречие |lim(n(()(bn-an)=|(f(x)-C(=(C-C(=0|их сравнения |

|гранью этого |теор. док-на. |0. Посл-ть с |<(, => |Опр. Ф-ция ((х) |

|мн-ва, а |Теорема |указанными |lim(x(x0)C=C |наз-ся б/м если|

|во-вторых при |«Сходящаяся |св-вами наз-ют |Свойства |ее предел в этой|

|сколь угодном |посл-ть |вложенными. |пределов. |т-ке равен 0 из |

|уменьшении Х* |ограничена» |Теорема Любая |Непрерывность |этого |

|получ. число |Пусть посл-ть |посл-ть |ф-ции. |определения |

|перестает быть |{xn}(а ( >о |вложенных |Теорема. Пусть |вытекает |

|верх. гранью |N:(n>N(xn-a(<( |отрезков |ф-ции f(x) и |следующее св-во |

|мн-ва. |эквивалентна |содержит единную|g(x) имеют в |б/м ф-ций: |

|Верхн. грань – |а-(<xn<a+( (n>N |т-ку с |т-ке х0 пределы |а) |

|supX=x*, а нижн.|=> что каждый из|принадлежащую |В и С. Тогда |Алгебраическая |

|грань infX=x* |членов посл-ти |всем отрезкам |ф-ции |сумма и |

|Теорема. Любое |удовлетворяет |посл-ти |f(x)(g(x),f(x)g(|произведение б/м|

|непустое |неравенству(xn((|одновременно, с |x) и f(x)/g(x) |ф-ций есть б/м |

|ограниченное |c = max |общая точка всех|(при С(0) имеют |ф-ции. |

|сверху (снизу) | |которой они |пределы, равные |б/м ф-ции на |

|имеет точную |Теорема «Об |стягиваются. |соответственно |ограниченную |

|верх(ниж) грань.|арифметических |Док-во |В(С, В(С, В/С, |ф-цию есть б/м |

| |дейсьвиях» |{an}-посл-ть |т.е. |ф-ция, т.е. если|

|Таким образом у |Пусть посл-ть |левых концов |lim[f(x)(g(x)]= |((х)(0 при х(х0,|

|огран. мн-ва обе|{xn}(a,{yn}(b |отрезков явл. |B(C, |а f(x) |

|грани (, док-во |тогда |монотонно не |lim[f(x)(g(x)]= |определена и |

|основано на |арифметические |убывающей и |B(C, |ограничена (( |

|непрерывности |операции с этими|ограниченной |lim[f(x)/g(x)]= |С:(((х)((С)=> |

|мн-ва действит. |посл-тями |сверху числом |B/C |((х)((х)(0 при |

|чисел. |приводят к |b1. |Теорема также |х(х0 |

|3. Числовые |посл-тям также |{bn}-посл-ть |верна если х0 |Для того чтобы |

|последовательнос|имеющие пределы,|правых концов |явл. ((, ((, ( |различать б/м по|

|ти |причем: |монотонно не |Опр. Ф-ция f(x) |их скорости |

|Если для каждого|а) предел |возрастающей, |наз-ся |стремления к 0 |

|нат. числа n |lim(n(()(xn(yn)=|поэтому эти |непрерыной в |вводят сл. |

|определено |a(b |посл-ти явл. |точке х=х0, если|понятие: |

|некоторое |б) предел |сходящимися, |предел ф-ции и |1) Если |

|правило |lim(n(()(xn(yn)=|т.е. сущ-ют |ее значение в |отношение 2-х |

|сопоставляющее |a(b |числа |этой точке |б/м ((х)/((х)(0 |

|ему число xn, то|в) предел |с1=lim(n(()an и |равны, т.е. |при х(х0 то |

|мн-во чисел |lim(n(()(xn/yn)=|с2=lim(n(()bn =>|lim(x(x0)f(x)=f(|говорят что б/м |

|х1,х2, … ,хn, … |a/b, b(0 |c1=c2 => c - их|x0) |( имеет более |

|наз-ся числовой|Док-во: |общее значение. |Теорема Пусть |высокий порядок |

|последовательнос|а)xn(yn=(а+(n)((|Действительно |ф-ции f(x) и |малости чем (. |

|тью и |b+(n)=(a(b)+((n(|имеет предел |g(x) непрерывны |2) Если |

|обозначается |(n) Правая часть|lim(n(()(bn-an)=|в т-ке х0. Тогда|((х)/((х)(A(0 |

|{xn}, причем |полученная в |lim(n(()(bn)- |ф-ции f(x)(g(x),|при х(х0 |

|числа образующие|разности |lim(n(()(an) в |f(x)(g(x) и |(A-число), то |

|данную посл-ть |представляет |силу условия 2) |f(x)/g(x) также |((х) и ((х) |

|наз-ся ее эл-ми,|сумму числа a+b |o= |непрерывны в |наз-ся б/м |

|а эл-т хn общим |б/м посл-тью, |lim(n(()(bn-an)=|этой т-ке. |одного порядка. |

|эл-том посл-ти .|поэтому стоящая |с2-с1=> с1=с2=с |10. Предел. |3) если |

| |в левой части |Ясно что т. с |Односторонний |((х)/((х)(1 , то|

|!Порядок |xn+yn имеет |общая для всех |предел. |((х) и ((х) |

|следования |предел равный |отрезков, |Опр.Числом А |наз-ся |

|эл-тов оч. |a(b. Аналогично |поскольку (n |наз-ся предел |эквивалентными |

|важен, |др. св-ва. |an(c(bn. Теперь |f(x) в т-ке х0, |б/м (((х)~((х)),|

|перестановка |б) |докажем что она |если для любой |при х(х0. |

|хотя бы 2-х |xn(yn=(а+(n)((b+|одна. |окрестности А( |4) Если |

|эл-тов приводит |(n)=ab+(nb+a(n+(|Допустим что ( |окрестность |((х)/(^n(х)(А(0,|

|к др. посл-ти. |n(n |другая с‘ к |(х0):(x(окрестно|то ((х) наз-ся |

|Основные способы|(n(b – это |которой |сти (x0) |б/м n-ного |

|задан. посл-ти: |произведение |стягиваются все |выполняется |порядка |

|а) явный, когда |const на б/м |отрезки. Если |условие |относительно |

|предъявляется |а((n(0, (n(n(0, |взять любые не |f(x)(окрестности|((х). |

|ф-ла позволяющая|как произведение|пересекающиеся |. |Аналогичные |

|по заданному n |б/м. |отрезки с и с‘, |Теорема Все |определения для |

|вычислить любой |=> поэтому в |то с одной |определения |случаев: х(х0-, |

|эл-т n, т.е. |правой части |стороны весь |предела |х(х0+, х(-(, |

|xn=f(n), где f- |стоит сумма |«хвост» посл-тей|эквивалентны |х(+( и х((. |

|некоторая ф-ция |числа а(b+ б/м |{an},{bn} должен|между собой. |14. Непрерывные |

|нат. эл-та. |посл-ть. По т-ме|нах-ся в |Опр. Число А |ф-ции. |

|б) неявный, при |О связи |окрестностях |называется |Непрерывность. |

|котором задается|сходящихся |т-ки с‘‘(т.к. an|пределом ф-ции |Опр. f(x) |

|некоторое |посл-тей в б/м |и bn сходятся к |f(x) справа от |непрерывны Х0 и |

|рекуррентное |посл-ти в правой|с и с‘ |т.х0(правым |при этом ее |

|отношение и |части xn(yn |одновременно). |предело f(x0)) |предел в этой |

|несколько первых|сводится к a(b |Противоречие |если f(x)(A при |т-ке сущ-ет и |

|членов посл-ти. |Практический |док-ет т-му. |х(х0, х>x0 |равен знач. |

|Пример: |вывод состоит в |Принцип |Формально это |ф-ции в этой |

|а) xn=5n x1=5, |том, что нахожд.|вложенных |означает, что |т-ке, т.е. |

|x2=10 |пределов |отрезков |для любой |lim(x(x0)f(x)=f(|

|б) x1=-2 xn=4n-1|посл-тей |Т-ма. Любая |посл-ти |x0)-непрерывност|

|–3, n=2,3… |заданных сл. |пос-ть вложенных|сходящейся к х0 |ь ф-ции в т-ке. |

|х2=-11, х3=-47 |выражениями |отрезков |при xn>x0 |Из определения |

| |можно сводить к |содержит |выполняется |вытекает что в |

|Ограниченные |более простым |единств. т-ку |условие f(xn)(A |случае |

|последовательнос|задачам |с(всем отрезкам |Запись: f(x0+o),|непрерывности |

|ти(ОП) |вычисления lim |посл-ти |f(x0+ ). |ф-ции в данной |

|Посл-ть {xn} |от составляющих |одновременно, к |lim(x(x0+o)f(x) |т-ке вычитание |

|наз-ся огран. |этого выр-ния |которой они |где запись |пределов |

|сверху(снизу), |Посл-ть {xn} |стягиваются. |x(x0+o как раз |сводится к |

|если найдется |наз-ся возр., |Док-во. {an} |означает |вычит. знач. |

|какое-нибудь |если |пос-ть левых |стремление к х0 |ф-ции в данной |

|число {xn} M(m) |x1<…<xn<xn+1<…; |концов явл. |по мн-ву |т-ке. Равенство |

|xn(M (n (xn(m |неубывающей, |монотонно |значений >чем |lim(x(x0)x=x0 |

|(n) посл-ть |если |неубыв. И огран.|х0. |(1‘). Т.е знак |

|наз-ся огранич.,|x1(x2(…(xn(xn+1(|свеху числом b1;|Опр. Предел |предела у |

|если она |…; убывающей, |посл-ть правых |слева аналогично|непрерывной |

|огранич. сверху |если |концов {bn} |и исп-ся запись |ф-ции можно |

|и снизу. |x1>x2>…>xn>xn+1>|монотонно не |f(x0-o);f(x0-) |вносить в |

|Посл-ть {xn} |…; невозр., если|возр. и |Теорема. Для |аргумент ф-ции. |

|наз-ся |x1(x2(…(xn(xn+1(|ограничена снизу|того чтобы ф-ция|Геометрически |

|неогранич., если|… |а1, поэтому эти |f(x) имела |непрерывность |

|для любого |Все такие |посл-ти сходящ.,|предел в точке |ф-ции в т-ке х0 |

|полного числа А |посл-ти наз-ся |т.е. ( числа |х0 необходимо и |означает что ее |

|сущ-ет эл-т хn |монотонными. |c1=lim(n(()an и |достаточно когда|график в этой |

|этой посл-ти, |Возр. и убыв. |c2=lim(n(()bn. |в этой т-ке |т-ке не имеет |

|удовлетворяющий |наз-ся строго |Докажем что |ф-ция имеет |разрыва. Если |

|неравенству |монотонными |с1=с2 и сл-но их|совпадающие |обозначить через|

|(xn(>А. |Монотонные |общая знач. |между собой |(у приращение |

| |посл-ти |может обозначить|одностороние |ф-ции, т.е. |

| |ограничены с |через с. Действ.|пределы |(у=f(x0+(x)-f(x0|

| |одной стороны, |имеется предел |(f(x0+)=f(x0-)) |) (приращение |

| |по крайней мере.|lim(n(()(bn-an)=|значение которые|ф-ции в т. х0). |

| |Неубывающие |lim(n(()bn( |равны пределу |«(» - символ |

| |ограничены |lim(n(()an=c2-c1|ф-ции, т.е. |приращения. |

| |снизу, например |=c ясно что с |f(x0+)= |Приращение |

| |1 членом, а не |общая для всех |f(x0-)=lim(x(x0)|аргумента в т-ке|

| |возрастыющие |отрезков |f(x)=A |х0 это |

| |ограничены |поскольку для ( |Док-во |соответствует |

| |сверху. |n an(c(bn. |а) допустим |тому, что |

| |Теорема «О |Осталось |ф-ция имеет в |текущая т. х, то|

| |сходимости |доказать |точке х0 предел |условие |

| |монотон. |единство данной |равный А, тогда |непрерывности в |

| |посл-ти» |т-ки (от |f(x)( А |т-ке х0 |

| |Всякая |противного). |независимо от |записывается сл.|

| |монотонная |Допустим есть |того, |образом |

| |посл-ть явл-ся |c‘(c к которой |приближается ли |lim((x(0)(y=0~ |

| |сходящейся, т.е.|стягиваются все |х к х0 по |(у(0 (1‘‘). Если|

| |имеет пределы. |отрезки. Если |значению > x0 |в т-ке х0 ф-ция |

| |Док-во Пусть |взять любые |или <, а это |непрерывна, то |

| |посл-ть {xn} |пределы окр. |означает |приращение ф-ции|

| |монотонно возр. |точек с и с‘, то|равенство 1. |(0 приращение |

| |и ограничена |с одной стороны |б) пусть |аргумента. |

| |сверху. X – все |весь «хвост» |односторонние |f(x) непрерывна |

| |мн-во чисел |{an}, {bn}, |пределы сущ-ют и|в т-ке х0 <(> |

| |которое |должен нах-ся в |равны |(y(0 при (х(0. |

| |принимает эл-т |окрестности т-ки|f(x0+)=f(x0-) |Если понятие |

| |этой посл-ти |с, а др. в с‘, |докажем, что ( |предела приводит|

| |согласно усл. |т.к. an и bn( c |просто предел. |к понятию непр. |

| |Теоремы это |и c‘ одновр. |Возьмем |Ф-ции то понятие|

| |мн-во огранич., |Противореч. |произвольную |одностороннего |

| |поэтому по |док-ет т-му. |{xn}(х0 разобьем|предела приводит|

| |соотв. Теореме |7.Ф-ции одной |если это |к понятию |

| |оно имеет |переменной |необходимо эту |односторонней |

| |конечную точную |Если задано |последовательнос|непр. точки. |

| |верх. грань supX|правило по |ть на две |Опр. Если f(x) |

| |xn(supX |которому каждому|подпоследователь|имеет предел |

| |(обозначим supX |значению перем. |ности. |справа в т-ке |

| |через х*). Т.к. |Величины х из |1. члены которые|х0(=f(x0+)) и |

| |х* точная верх. |мн-ва Х ставится|нах-ся слева от |этот предел |

| |грань, то xn(x* |соответствие 1 |х0 {x‘n}; |равен значению |

| |( n. ( ( >0 |значению перем. |2. члены которые|ф-ции ф-ции в |

| |вып-ся нер-во ( |У то в этом |нах-ся справа от|т-ке х0, т.е. |

| |xm(пусть m- это |случае говорят, |х0 {х‘‘n}; |f(x0+)=lim(x(x0,|

| |n с |что задана ф-ция|x’n(x0-o |x>x0)f(x)=f(x0),|

| |крышкой):xm>x*-(|1-й переменной. |x’’n(x0+o, т.к. |то ф-ция f(x) |

| |при ( n>m => из |Y=f(x); x |односторонние |наз-ся непр. |

| |указанных 2-х |–аргумент |пределы ( и |справа в т-ке |

| |неравенств |независ. |равны, то |х0. |

| |получаем второе |перемен., y- |f(x‘n)(A и |Аналогично при |

| |неравенство |зав. пер. |f(x‘‘n)(A |вып-нии усл. |

| |x*-((xn(x*+( при|X=Df=D(f) |поэтому посл-ть |f(x0-)=lim(x(x0,|

| |n>m эквивалентно|y={y;y=f(x),x(X}|значений ф-ций |x<x0)f(x)=f(x0),|

| |(xn-x*(<( при |x1(X1, y1=f(x1) |{f(xn)} которая |то ф-ция наз-ся |

| |n>m. Это |1) аналит. |также след. |непр. слева в т.|

| |означает, что x*|способ; |справа: |х0. |

| |явл. пределом |2)Табличный |1){f(x‘n)} и |Ясно что |

| |посл-ти. |способ; |{f(x‘‘n)} имеет |справедлива |

| | |3) Графический |f(xn)(A на |сл.теорема |

| | |способ; |основании связи |вытекающая из |

| | |4)Min и max |между |связи |

| | |ф-ции: ф-ция |сходимостью |односторонних |

| | |f(x) ограничена,|последовательнос|пределов ф-ция |

| | |если огран. ее |тей |f(x) непр. в |

| | |мн-во знач У, | |т-ке х тогда, |

| | |т.е. ( m,M: | |когда она непр. |

| | |m(f(x)(M (x(X | |в этой т-ке, как|

| | |m(f(x) (x(X => | |справа, так и |

| | |огр. сн.; | |слева. |

| | |f(x)(M, (x(X=> | |f(x0-)=f(x0+)=f(|

| | |огр. св. | |x0) |

| | | | |Опр. Ф-ция f(x) |

| | |Обратные ф-ции | |непрерывна на |

| | |Если задано | |некотором пр-ке |

| | |правило по | |D, если в каждой|

| | |которому каждому| |т-ке этого пр-ка|

| | |значению y(Y | |при этом, если |

| | |ставится в | |пр-ток D |

| | |соответствие ( | |содержит |

| | |ед. знач. х, | |граничную т-ку, |

| | |причем y=f(x), | |то будем |

| | |то в этом случае| |подразумевать |

| | |говорят, что на | |соотв. одностор.|

| | |мн-ве Y | |непр. ф-ции в |

| | |определена ф-ция| |этой т-ке. |

| | |обратная ф-ции | |Пример Р-рим |

| | |f(x) и | |степенную |

| | |обозначают такую| |производст. |

| | |ф-цию x=f^-1(y).| |ф-цию |

| | | | |Q=f(k)=k^1/2 |

| | | | |Q-объем выпуска |

| | | | |продукции, к – |

| | | | |объем капитала. |

| | | | |D(f)=R+=>f(0)=0 |

| | | | |и очевидно f(0+)|

| | | | |( и равно 0 => |

| | | | |что данная ф-ция|

| | | | |непр. на своей |

| | | | |обл. опр-ния. |

| | | | |Большинство |

| | | | |ф-ций исп-мых в |

| | | | |эк-ке непр. |

| | | | |Например непр. |

| | | | |ф-ции означает, |

| | | | |что при малом |

| | | | |изменении |

| | | | |капитала мало |

| | | | |будет меняться и|

| | | | |выпуск пр-ции |

| | | | |((Q(0 при (k(0).|

| | | | |Ф-ции которые не|

| | | | |явл. непр. |

| | | | |наз-ют |

| | | | |разрывными |

| | | | |соотв. т-ки в |

| | | | |которых ф-ция не|

| | | | |явл. непр. |

| | | | |наз-ся т-кой |

| | | | |разрыва |

|Классификация |Дифференцировани|Выпуклые и |Применение 1й |Теорема |

|т-ки разрыва |е ф-ций |вогнутые ф-ции |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт|

|Непр. ф-ции на |Пр-ные и |Т-ки перегиба |ф-ций |расса |

|пр-ке |дифференциалы |Выпуклость и |Т-ма Ферма Т-ма |Теорема |

|Теорема |выс. Порядков. |вогнутость. |Коши |Больцано-Коши |

|ВЕЙЕРШТРАССА |Теорема Ферма |Б/б пол-ти |Интервалы |Теорема |

| |Теорема Ролля |Гладкая ф-ция |монотонности |Вейерштрасса |

| |Теорема |Эластичность |ф-ции | |

| |Логранджа |ф-ций |Т-ма Логранджа. | |

| |Теорема Коши | |Т-ма Ролля Т-ма | |

| |Правило Лопиталя| |Тейлора Т-ма | |

| | | |Коши Правило | |

| | | |Лопиталя. | |

| | | |Производная | |

| | | |обратной ф-ции | |

|15. |16. |Выпуклые и |Применение 1й |Теорема |

|Классификация |Дифференцировани|вогнутые ф-ции |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт|

|т-ки разрыва |е ф-ций |Для хар-ки |ф-ций |расса Из любой |

|Все т-ки р-рыва |Центральная идея|скорости возр. |Все применения |огран. посл-ти |

|делятся на 3 |диффер. ф-ций |или убыв. ф-ции,|базируются на |можно выбрать |

|вида: т. |явл-ся изучение |а также крутезны|опред-нии |сход. |

|устранимого |гладких ф-ций |гр-ка ф-ции на |пр-ной, как |подпосл-ть. |

|р-рыва; точки |(без изломов и |участке |предела |Док-во |

|р-рыва 1-го , и |р-рывов кривые) |монотонности |разностного |1. Поскольку |

|2-го рода. |с помощью |вводится понятия|отношения, а |посл-ть |

|а) если в т-ке |понятия пр-ной |вогн. вып-ти |также на сл-щей |ограничена, то (|

|х0 ( оба |или с помощью |ф-ции на |т-ме. |m и M, такое что|

|односторонних |линейных ф-ций |интервале, |Т-ма Ферма. Если|( m(xn(M, ( n. |

|предела, которые|y=kx+b обладает |частности на |диф. на |(1=[m,M] – |

|совпадают между |простейшими |всей числ. |интервале (a,b) |отрезок, в |

|собой f(x0+)= |наглядн. |приямой. |f(x) имеет в |котором лежат |

|f(x0-), но ( |ф-циями; у=k‘ =>|Пр-р. Пусть |т-ке ч0 |все т-ки |

|f(x0), то такая |k>0 то у возр. |ф-ция явл-ся |локальный |посл-ти. |

|т-ка наз-ся |при всех х, |пр-ной ф-цией |экстремум, то |Разделим его |

|точкой |k<0-то у убыв. |некоторой фирмы,|пр-ная этой |пополам. По |

|устранимого |при всех х, k=0 |напр. объем |ф-ции обращается|крайней мере в |

|р-рыва. |– ф-ция |вып-ка |в 0, т.е. |одной из |

|Если х0 т-ка |постоянна |продукции, а |f‘(x0)=0 (8). |половинок будет |

|устранимого |Определение |арг. х-числ. |Это необходимое |нах-ся |

|р-рыва, то можно|пр-ной |раб. силы. |усл. локал. |бесконечное |

|перераспределить|1) Пусть ф-ция |Хар-ный график |экстр., но |число т-к |

|ф-цию f так |y=f(x) |этой ф-ции имеет|недостаточное. |посл-ти. |

|чтобы она стала |определена по |сл. вид у f(x) |Опр. Все т-ки в |(2 – та |

|непр. в т-ке х0.|крайней мере в |возр. для x>0. |которых пр-ная |половина, где |

|Если по ф-ции f |окр-тях т-ки х0,|На инт. От (0,a)|ф-ции f(x) |лежит |

|построить новую |таким приращения|ф-ция возр. все |обращается в 0 |бесконечное |

|ф-цию положив |(х эл-нт. |быстрее. Его |наз-ся крит. |число т-к |

|для нее знач. |Составим соотв. |можно р-ривать, |т-ми f(x). Из |посл-ти. Делим |

|f(x0)= |ему приращения |как этап |т-мы Ферма => |его пополам. По |

|f(x0-)=f(x0+) и |ф-ции т-ки х0. |образования |экстремум надо |краней мере в |

|сохранить знач. |(y=(f(x0)=f(x0+(|фирмы вначале |искать только |одной из |

|в др. т-ках, то |x)-f(x0) |которого выпуск |через крит. |половинок отр. |

|получим исправл.|Образуем |растет медленно,|т-ки. |(2 нах-ся |

|f. |разностное |поскольку первые|Т-ма Коши. Пусть|бесконечное |

|б) если в т-ке |отношение |рабочие не |ф-ции f(x) и |число т-к |

|х0 ( оба |(y/(x=(f(x0)/(x |прошли период |g(x) непрерывны |посл-ти. Эта |

|1-стороних |(1) (это |адаптации, но с |на [a,b] и диф. |половина - (3. |

|предела f(x0(), |разностное |теч. времени |на (a,b). Пусть |Делим отрезок (3|

|которые не равны|отношение явл. |эффект привл. |кроме того, |… и т.д. |

|между собой |ф-цией (х, т.к. |доп. раб. |g‘(x)(0, тогда (|получаем посл-ть|

|f(x0+)(f(x0-), |х0-фиксирована, |рабочих |т-ка c((a,b) |вложенных |

|то х0 наз-ся |причем при (х(0 |становится все |такая, что |отрезков, длинны|

|т-кой р-рыва |мы имеем дело с |больше, и соотв.|справедлива ф-ла|которых |

|первого рода. |неопр. 0/0). |ув-ся крутизна |(f(b)-f(a))/(g(b|стремятся к 0. |

|в) если в т-ке |Опр. Пр-ной |графика. На |)-g(a))=f‘(c)/g‘|Согластно о т-ме|

|х0 хотя бы 1 из |ф-ции y=f(x) |((,a) ф-ция |(c) |о вложенных |

|односторонних |наз-ся предел |возр. все медл. |Интервалы |отрезках, ( |

|пределов ф-ции |разностного |и гр. становится|монотонности |единств. т-ка С,|

|не ( или |отношения 1 (при|все более |ф-ции |кот. принадл. |

|бесконечен, то |условии если он |пологой. а – это|Т-ма. Пусть f(x)|всем отрезкам |

|х0 наз-ся т-кой |(), когда (х(0. |пороговое знач. |диффер. На |(1, какую-либо |

|р-рыва 2-го |Производная это |числ. раб. силы |интервале (a,b),|т-ку (n1. В |

|рода. |предел отношения|начиная с |тогда |отрезке (2 |

|При исслед. |приращения в |которого привл. |справедливы сл. |выбираю т-ку |

|Ф-ции на непр. |данной т-ке к |доп. раб. силы |утверждения f(x)|xn2, так чтобы |

|классификации |приращению |начиная с |монотонно возр. |n2>n1. В отрезке|

|возможных т-к |аргумента при |которого привл. |(убывает) на |(3 … и т.д. В |

|р-рыва нужно |усл., что |раб. силы дает |интервале (a,b) |итоге пол-ем |

|применять во |посл-ть ( к 0. |все меньший |тогда, когда |посл-ть xnk((k. |

|внимание сл. |Эта производная |эффект в объемке|f‘(x)(0 на |Теорема |

|замечания: |обозначается |вып-ка. А(х) |интервале (a,b) |Больцано-Коши |

|1) Все |через df(x0)/dx |возр. f‘(x)>0 |и f‘(x)>0 |Пусть ф-ция |

|элементарные |или f‘(x0), у‘ |(x(0, но на |(f‘(x)<0), то |непр-на на |

|ф-ции непрер. во|(если данная |интервале от 0 |строго возр. |отрезке [a,b] и |

|внутренних т-ках|т-ка х0 |до а (0;а) f‘(x)|(убыв) на (a,b).|на концах |

|своих областей |подразумевается |возр. в то время| |отрезка |

|определения => |или же речь идет|как (0;() f‘ |х( интерв. |принимает зн-ния|

|при исл. |о пр-ной в любой|убыв., а в т-ке |монотонно |равных знаков, |

|элементарных |текущей т-ке х. |а-max. По |убывает, |тогда ( т-ка с (|

|ф-ций нужно |Итак согласно |критерию |касательная |(a,b) в которой |

|обращать |определению |монотонности это|имеет тупой угол|ф-ция обращается|

|внимание на |f‘(x0)=lim((x(0)|означает на |наклона f‘(x1)<0|в 0. |

|гранич. т-ки |(f(x0+(x)-f(x0))|(0;а) f‘‘(x)(0 |для x2 |Док-во |

|обл-ти опр-ния. |/(x (2) |(f-выпукла), а |противоположная |Пусть Х – мн-во |

|2) Если ф-ция |Если ф-ция f(x) |на (a;() |ситуация. |таких т-к х из |

|задана кусочно, |имеет в т-ке х0 |f‘‘(x)(0 |Т-ма Логранджа. |отрезка [a,b], |

|т.е. различными |пр-ную, т.е. |(f-вогнута). |Пусть ф-ция f(x)|где f(x)<0. |

|соотношениями на|предел в правой |Опр. Пусть f(x) |непрер. на |Мн-во Х не |

|частях своей |части (2) (, то |дважды диф. |отрезке [a,b] и |пустое. Х( |

|обл. опр., то |говорят что f(x)|ф-ция на (a,b), |диф. на |[a,b], значит х |

|подозрительными |дифференц. в |тогда: |интервале (a,b),|ограничено, |

|на разрыв явл. |т-ке х0. |1)назовем ф-цию |тогда ( т. х и |поэтому оно |

|граничные т-ки |2) Непрерывность|f(x) |x+(x ( [a,b] ( |имеет точную |

|частей обл-ти |и |выпуклой(вогн) |т-ка С лежащая |верхнюю грань. |

|опр. |дифференцируемос|на интервале |между х и х+(х |c=supx. a(c(b |

|3) Св-ва непр. |ть |(a,b), если 2-я |такая что |покажем a<c<b по|

|ф-ций. Многие |Т-ма. Если ф-ция|пр-ная не отриц,|спаведлива ф-ла |т-ме об уст. |

|св-ва непр. |f(x) дифференц. |т.е. f‘‘(x)(0 |(f(x+(x)-f(x))=f|знака, поэтому |

|ф-ций легко |в т-ке х0 то она|(f‘‘(x)(0) на |(c)((x (7) => |c(a, c(b. |

|понять опираясь |непрерывна в |(a,b) |при сравнении с |Предположим |

|на их геометр. |этой т-ке, |2)Если в пункте |ф-лой приращения|f(c)=0, что это |

|св-ва: |причем имеет |1 вып-ся строгие|ф-ций с диф. |не так, тогда ( |

|график непр. |место разложения|нер-ва 2-й |заметим, что (7)|окрестность т-ки|

|ф-ции на пр-ке D|(f в т-ке х0 |пр-ной, то ф-ция|явл. точной |с в пределах |

|представляет |(f(x0)=f(x0+(x)-|наз-ся строго |ф-лой, однако |которой ф-ция |

|сплошную(без |f(x0)= |выпуклой(вогнуто|теперь пр-ная |сохраняет знак, |

|р-рывов) кривую |f‘(x0)(x+(((x)(x|й) на интервале |фолжна считаться|но это не |

|на пл-тях и |(3), где |(a,b) |в некоторой |можетбыть, т.к. |

|след-но может |(((x)-б/м ф-ия |Т-ки перегиба |средней т-ке С |по разные |

|отображена без |при (х(0 |Опр. Т-ки разд. |«алгоритм» |стороны т-ки с |

|отрыва ручки от |Док-во. Заметим,|интервалы |выбора которой |ф-ция имеет |

|бумаги. |что разложение |строгой |неизвестен. |разный знак. |

|I) Ф-ция непр. в|(3) верно, что |выпуклости и |Крайнее значение|f(с)=0. |

|т-ке х0 |из него сразу |строгой |(a,b) не |Теорема |

|обязательно |следует что при |вогнутости |запрещены. |Вейерштрасса |

|ограничена в |(х(0 (f(x0)(0, |наз-ся т-ми |Придадим ф-ле |Непрерывная |

|окрестностях |=> в т-ке х0 |перегиба т. х0 |(7) классический|ф-ция на отрезке|

|этой т-ки.(св-во|ф-ция непр. |есть т-ка |вид => x=a |ограничена. |

|локал. |Поэтому осталось|перегибы, если |x+(x=b+> тогда |Док-во |

|огранич-ти) |док-ть рав-во |f‘‘(x0)=0 и 2-я |ф-ла |Предположим что |

|Док-во |(3). Если пр-ная|пр-ная меняет |(7)=(f(b)-f(a))/|ф-ция не |

|использует |( то из |знак при |(b-a)=f‘(c) (7‘)|ограничена. |

|опр-ние на языке|определения (2) |переходе через |– ф-ла конечных |Возьмем целое |

|( и (. Если f |и связи предела |х0=> в любой |приращений |пол-ное n, т.к. |

|непр. в т-ке х0 |с б/м =>, что ( |т-ке перегиба |Логранджа. |ф-ция не |

|то взяв любое |б/м ф-ция (((х) |f‘(x) имеет |(f(b)-f(a))/(b-a|ограничена, то |

|(>0 можно найти |такая что |локальный |)=f‘(c) (1) |найдется |

|(>0 |(f(x0)/(x=f‘(x0)|экстремум. |Док-во сводится |xn([a,b], такое |

|(f(x)-f(x0)(<( |+(((x) отсюда |Геометр. т-ка |к сведению к |что (f(xn)(>n. |

|при (х-х0(<( ~ |рав-во (3) |перегиба хар-ся |т-ме Ролля. |Имеем посл-ть |

|f(x0)-(<f(x)<f(x|пол-ся |тем что |Р-рим вспом. |т-к xn. По т-ме |

|0)+( в |умножением на |проведенная |ф-цию |Больцано-Коши из|

|окрестности в |(x. |касат. в этой |g(x)=f(x)-f(a)-(|посл-ти xn можно|

|т-ке х0. |Примеры. |т-ке имеет т-ки |f(b)-f(a))/(b-a)|выбрать |

|II) Св-ва |1)Пр-ная |графика по |( (x-a) |сходящиюся |

|сохранения знака|постоянная и |разные стороны. |Пусть ф-ция g(x)|подпосл-ть |

|Если f(x) непр. |ф-ция равна 0, |Выпуклость и |удовл. всем усл.|xnk((x0. По т-ме|

|в т-ке х0 и |т.е. y=c=const |вогнутость. |т-мы Ролля на |о предельном |

|f(x0)(0 то ( |(x, тогда y‘=0 |Опр. Ф-ция явл. |[a,b] |переходе к |

|окрестность этой|для (х. В этом |выпуклой |А)Непрерывна на |неравенству. |

|т-ки в которой |случае (y/(x |(вогнутой) на |[a,b] |a(xnk(b a(x0(b |

|ф-ция принимает |числитель всегда|(a,b) если |Б) Дифференц. на|x0([a,b] |

|тот же знак что |равен пустому |кассат. к |(a,b) |Если посл-ть xnk|

|и знак х0. |мн-ву, сл-но это|граф-ку ф-ции в |В) g(a)=g(b)=0 |сходится к x0, |

|III)Теорема о |отношение равно |любой т-ке |Все усл. Ролля |то f(xnk) будет |

|промежуточных |0, => значит эго|интервала, лежит|соблюдены, |сходится f(x0) |

|знач. ф-ции f(x)|отн-ние = 0. |ниже (выше) гр. |поэтому ( т-ка С|(f(xnk)(>nk, a |

|непр. на отрезке|2)Пр-ная |ф-ции. |на (a,b) g‘(c)=0|nk((((f(xnk)(((,|

|[a,b] и f(a)=A, |степенной ф-ции,|y=y0+f‘(x0)(x-x0|g‘(c)=f‘(x)-(f(b|т.е. f(xnk) б/б |

|f(b)=B причем |у=х^k, |)=f(x0)+f‘(x0)(x|)-f(a))/(b-a). |посл-ть. |

|A(B => C((A,B) (|y‘=kx^(k-1) ( |-x0) – линейная |Ф-ла (1) наз-ся |С одной стороны |

|c((a,b):f(c)=C |k(N. Док-м для |ф-ция х, который|ф-лой конечных |f(xnk) стремится|

|f(c)=f(c‘)=f(c‘‘|к=0 исходя из |не превосходит |приращений. |к опр. числу, а |

|). |опр-ния пр-ной. |f(x) и не меньше|Т-ма Ролля. |с др. стороны |

|IV)Теорема о |Возьмем ( т-ку х|f(x) в случае |Пусть ф-ция f(x)|стремится к (, |

|прохожд. непр. |и дадим |вогнутости |удовл. сл. усл. |пришли к |

|ф-ции через 0. |приращение (х |неравенства |А)Непрерывна на |противоречию, |

|Если f(x) непр. |составим |хар-щие |[a,b] |т.к. мы |

|на отрезке (a,b)|разностное |выпуклость |Б) Дифференц. на|предположим, что|

|и принимает на |отношение |(вогнутость) |(a,b) |ф-ция не |

|концах этого |(у/(х=(х+(х)^2-x|через диф. |В) принимает на |ограничена. |

|отрезка значение|^2/(x=2х+ (х => |f(x)(f(x0)+ |коцах отрезков |Значит наше |

|разных знаков |lim((x(0)(y/(x=2|f‘(x0)(x-x0) ( |равные значения |предположение не|

|f(a) f(b), то ( |x=y‘. В дейст-ти|x,x0((a;b) f |f(a)=f(b), тогда|верно. |

|т-ка с((a,b). |док-ная ф-ла |вогнута на |на (a,b) ( т-ка | |

|Док-во |р-раняется для |(а,b). Хорда |такая что | |

|Одновременно |любых к. |выше (ниже), чем|f‘(c)=0, т.е. | |

|содержит способ |3)Пр-ная |график для вып. |с-крит. т-ка. | |

|нах-ния корня |экспон-ной |ф-ций (вогн.) |Док-во. Р-рим | |

|ур-ния f(x0)=0 |ф-ции, у=е^x => |линейная ф-ция |сначала, | |

|методом деления |y‘=e^x. В данном|kx+b, в |тривиальный | |

|отрезка пополам.|случае |частности |случай, f(x) | |

|f(d)=0 c=d Т-ма |(y/(x=(e^x+(x-e^|постоянна, явл. |постоянная на | |

|доказана. |x)/(x=e^x(e^(x-1|вып. и вогнутой.|[a,b] | |

|Пусть f(d)(0 |)/ (x. Одеако | |(f(a)=f(b)), | |

|[a,d] или [d,b] |предел дробного |Б/б пол-ти |тогда f‘(x)=0 ( | |

|ф-ция f |сомножителя = 1.|Посл-ть {xn} |x ( (a,b), любую| |

|принимает | |наз-ся б/б, если|т-ку можно взять| |

|значение разных |4)y=f(x)=(x(=(x,|для ( пол-ного |в кач-ве с. | |

|знаков. Пусть |x>0;-x,x<0). |числа А ( номер |Пусть f( const | |

|для определ-ти |Ясна что для ( |N такой, что при|на [a,b], т.к. | |

|[a,d] обозначим |х(0 производная |n>N вып-ся |она непрер. на | |

|через [a1,b1]. |легко нах-ся, |нер-во (xn(>A |этом отрезке, то| |

|Разделим этот |причем при |Возьмем любое |по т-ме | |

|отрезок на 2 и |y‘=1при x>0 |число А>0. Из |Вейерштрасса она| |

|проведем |y‘=-1 при x<0. |неравенства |достигает своего| |

|рассуждение |Однако в т-ке |(xn(=(n(>A |экстрем. на этом| |

|первого шага |x=0 пр-ная не (.|получаем n>A. |отрезке и max и | |

|док-ва в итоге |Причина с геом |Если взять N(А, |min. Поскольку f| |

|или найдем |т-ки зрения явл.|то ( n>N вып-ся |принимает равные| |

|искомую т-ку d |невозможность |(xn(>A, т.е. |знач. в гранич. | |

|или перейдем к |проведения |посл-ть {xn} |т-ках, то хотя | |

|новому отрезку |бесисл. мн-во |б/б. |бы 1- экстр. – | |

|[a2,d2] |кассат. к гр-ку |Замечание. Любая|max или min | |

|продолжая этот |ф-ции. Все |б/б посл-ть явл.|обязательно | |

|процесс мы |кассат. имеют |неограниченной. |достигается во | |

|получим посл-ть |угол от [-1,+1],|Однако |внутр. т-ке. | |

|вложения |а с аналит. т-ки|неогранич. |с((a,b) (в | |

|отрезков |зрения означает |Посл-ть может и |противном случае| |

|[a1,b1]>[a2,b2] |что прдел 2 не (|не быть б/б. |f=const), то по | |

|длинна которых |при x0=0. При |Например |т-ме Ферма, | |

|(a-b)/2^n(0, а |(x>0 |1,2,1,3,1,…,1,n…|тогда f‘(c)=0, | |

|по т-ме о вл-ных|(y/(x=(x/(x=1=>l|не явл. б/б |что и | |

|отрезков эти |im((x(0,(x>0)(y/|поскольку при |требовалось | |

|отрезки |(x=1 А левый |А>0 нер-во |д-ть. | |

|стягиваются к |предел разн-го |(xn(>A не имеет |Т-ма Тейлора. «О| |

|т-ке с. Т-ка с |отн-ния будет |места ( xn с |приближении | |

|явл. искомой |–1. Т.к. |нечет. номерами.|гладкой ф-ци к | |

|с:f(c)=0. |одностор. пред. | |полиномам» | |

|Действительно |Не совпадают |Гладкая ф-ция |Опр. Пусть ф-ция| |

|если допустить, |пр-ная не (. В |Сл. ф-ция f(x) |f(x) имеет в | |

|что f(c)(0 то по|данном случае ( |тоже явл. |т-ке а и | |

|св-ву сохр. |одностор. |гладкой, т.е. f‘|некоторой ее | |

|знаков в |пр-ная. |( и непрерывна |окрестности | |

|некоторой ( |Опр. |причем имеет |пр-ные порядка | |

|окрестности, |Правой(левой) |место сл. ф-ла |n+1. Пусть х - | |

|т-ке с f имеет |пр-ной ф-ции в |F‘(x)=f‘(((x))((|любое значение | |

|тот же знак что |т-ке х0, наз-ся |‘(x) (4). |аргумента из | |

|и значение f(c) |lim отношения |Используя ф-лу |указанной | |

|между тем |(2) при усл. что|(4) получаем |окрестности, | |

|отрезки [an,bn] |(х(0+((х(0-). |y‘=(lnf(a))‘=f‘(|х(а. Тогда между| |

|с достаточно N |Из связи |x)/f(x) (5) – |т-ми а и х | |

|попабают в эту |вытекает |логарифмической |надутся т-ка ( | |

|окрестность и по|утвержд., если |пр-ной. Правая |такая, что | |

|построению f |f(x) дифференц. |часть это |справедлива ф-ла| |

|имеет разный |в т-ке х0, то ее|скорость |Тейлора. | |

|знак на концах |одностор. пр-ная|изменения у |f(x)=f(a)+f‘(a)/| |

|этих отрезков. |также ( и не |(ф-ция f(x)) |1!(x+a)+ | |

|Непр. ф-ции на |совпадает |приходится на |f‘‘(a)/2!(x+a)^2| |

|пр-ке |f‘(x0-) и |ед-цу абсол. |+f^(n)(а)/n!+f^(| |

|f непр. в т-ке |f‘(x0+) обратно |значения этого |n+1)(()/(n+1)!(x| |

|х0 => f непрер. |для ( пр-ной |пок-ля поэтому |-a)^(n+1). | |

|в т-ке х0 и |f‘(x0) |логарифм. |Док-во. Сводится| |

|f(x0)(0 => f |необходимо, |Произв. наз-ют |к Роллю путем | |

|непр. на [a,b] и|чтобы прав. и |темпом прироста |введения вспом. | |

|f(x)(f(b)=0 |лев. пр-ные |показателя y или|переменной g(x).| |

|(f(x)(f(b)>0 в |совпад. между |f(x). Пусть | | |

|окр-ти х0) => ( |собой. В этом |известна |g(x)=f(x)-f(a)-f| |

|с((a,b). f(c)=0 |случае они не |динамика |‘(x)(x-a)-…-1/n!| |

|сл-но 2 св-ва |совпад. |изменения цены |(f^n(x)(x-a)^n-1| |

|непр. ф-ции на |17. Пр-ные и |на некотором |/(n+1)!(x-a)^n+1| |

|отрезке |дифференциалы |интервале, |((. По т-ме | |

|обоснованны. |выс. Порядков. |причем P(t) |Роляя ( т-ка с | |

|Т-ма 1(о огран. |Пр-ная f‘(x) – |гладкая ф-ция. |из (a,b), такая | |

|непр. ф-ции на |первого порядка;|Что можно |что g(c)=0 | |

|отрезке). Если |f‘‘(x) – |назвать темпом |(=f^(n+1)(c) | |

|f(x) непр. на |второго; |роста этой |Правило | |

|[a,b], тогда |f‘‘‘(x)-третьего|ф-ции, при t=R. |Лопиталя. | |

|f(x) огран. на |; |Темп |Пусть ф-ция f(x)| |

|этом отрезке, |fn(x)=(f(n-1)(x)|роста(приросту. |и g(x) имеет в | |

|т.е. ( |)‘. Пр-ные |Пр-р y=e^(x. |окр. т-ки х0 | |

|с>0:(f(x)((c |начиная со |Найдем темп |пр-ные f‘ и g‘ | |

|(x((a,b). |второй наз-ся |прироста. |исключая | |

|Т-ма 2( о ( |пр-ными выс. |f‘/f=темп |возможность саму| |

|экстр. непр. |порядка. |прироста=(e^(x/e|эту т-ку х0. | |

|ф-ции на отр.). |Дифференциал |^(x=(. |Пусть lim(х((х | |

|Если f(x) непр. |выс. порядков |Экспонициальная |)=lim(x((x)g(x)=| |

|на [a,b], тогда |dy= f‘(x)dx – |ф-ция имеет |0 так что | |

|она достигает |диф. первого |постоянный темп |f(x)/g(x) при | |

|своего экстр. на|порядка ф-ции |прироста. |x(x0 дает 0/0. | |

|этом отрезке, |f(x) и |Эластичность |lim(x(x0)f‘(x)/g| |

|т.е. ( т-ка max |обозначается |ф-ций |‘(x) ( (4), | |

|X*:f(x*)(f(x) |d^2y, т.е. |Опр. Пусть |когда он | |

|(x([a,b], т-ка |d^2y=f‘‘(x)(dx)^|гладкая ф-ция |совпадает с | |

|min |2. Диф. |y=f(x) описывает|пределом | |

|X_:f(x_)(f(x) |d(d^(n-1)y) от |изменение |отношения ф-ции | |

|(x([a,b]. |диф. d^(n-1)y |экономической |lim(x(x0)f(x)/g(| |

|Теорема |наз-ся диф. |переменной у от |x)= | |

|ВЕЙЕРШТРАССА. |n-ного порядка |эк. пер. х. |lim(x(x0)f‘(x)/g| |

|Эти теремы |ф-ции f(x) и |Допустим f(x)>0 |‘(x) (5) | |

|неверны если |обознач. d^ny. |=> имеет смысл |Док-во. | |

|замкнутые |Теорема Ферма. |лог. пр-ная. |Возьмем ( т-ку | |

|отрезки заменить|Пусть ф-ция f(x)|Эл-ностью ф-ции |х>х0 и | |

|на др. пр-ки |определена на |f(x) или у |рассмотрим на | |

|Контрпример 1. |интервале (a,b) |наз-ся сл-щая |[x0;x] вспом | |

|f(x)=1/2 на |и в некоторой |вел-на опред-мая|ф-цию арг. t | |

|(0;1] ( f – |т-ке х0 этого |с помощью лог. |h(t)=f(t)-Ag(t),| |

|неогр. на (0;1] |интервала имеет |пр-ной. |если t([x0;x], | |

|хотя и |наибольшее или |Ef(x)=x(f‘(x)/f(|т.к. удовл. | |

|непрерывны. |наименьшее знач.|x)=x(lnf(x))‘ |этому св-ву в | |

|Контрпример 2. |Тогда если в |(6). Выясним эк.|окр-ти т-ки х0, | |

|f(x)=x; на (0;1)|т-ке х0 ( |смысл этого |а т-ку х мы | |

|f(x) – непр. |пр-ная, то она =|показателя для |считаем | |

|inf(x((0;1))x=0,|0, f‘(x0)=0. |этого заменим в |достаточно | |

|но т-ки |2)Теорема Ролля.|(6) пр-ную ее |близкой к х0. | |

|x_((0;1):f(x_)=0|Пусть на отрезке|разностным |Ф-ция h | |

|, т-ки x*, хотя |[a,b] определена|отношением |непрерывна на | |

|sup(x((0;1))x=1 |ф-ция f(x) |(f(x0)/(x и |[x0;x], | |

|Док-во т-мы 1. |причем: f(x) |будем иметь |поскольку | |

|Используем метод|непрерывна на |Ef(x)(x((f(x)/(x|lim(t(x0)h(t)=li| |

|деления отрезка |[a,b]; f(x) диф.|)/f(x)=((f(x)/f(|m(t(x0)[f(t)-Ag(| |

|пополам. |на (a,b); |x))/((x/x). В |t)]=lim(t(x0)-A | |

|Начинаем от |f(a)=f(b). Тогда|числителе стоит |lim(t(x0)g(t)=0=| |

|противного; f |( т-ка с((a,b), |относит. Прирост|h(0)=> непр. | |

|неогр. на [a,b],|в которой |ф-ции f в т-ке |t=x0 По т-ме | |

|разделим его, |f‘(c)=0. |x, в знаменателе|Логранджа | |

|т.е. тогда |3)Теорема |относ. прир. |(x0,x)( | |

|отрезки |Логранджа. Пусть|аргумента. => |c:h‘‘(c)=0 | |

|[a;c][c;b] f(x) |на отрезке [a,b]|эл-ность ф-ции |Производная | |

|неогр. |определена f(x),|показывает на |обратной ф-ции | |

|Обозн. [a1,b1] и|причем: f(x) |сколько % |Т-ма. Для диф. | |

|педелим отрез. |непр. на [a,b]; |изменяется |ф-ции с пр-ной, | |

|[a2,b2], где |f(x) диф. на |пок-ль y=f(x) |не равной нулю, | |

|f-неогр. |[a,b]. Тогда ( |при изменении |пр-ная обратной | |

|Продолжая |т-ка c((a,b) |перем. х на 1%. |ф-ции равна | |

|процедуру |такая, что |Эластичность – |обратной | |

|деления неогр. |справедлива ф-ла|пок-ль реакции |обратной | |

|получаем послед.|(f(b)-f(a))/b-a=|1-й переменной |величине пр-ной | |

|влож. отрезки |f‘(c). |на изменение |данной ф-ции. | |

|[an;bn] котор. |4)Теорема Коши. |другой. |Док-во. Пусть | |

|оттяг. к т-ке d |Пусть ф-ции f(x)|Пр-р. р-рим |ф-ция y=f(x) | |

|(d=c с |и g(x) непр. на |ф-цию спроса от |диф. и | |

|надстройкой) из |[a,b] и диф. на |цены, пусть |y‘x=f‘(x)(0. | |

|отрезка [a,b], |(a,b). Пусть |D=f(p)=-aP+b – |Пусть (у(0 – | |

|общее для всех |кроме того, |линейная ф-ция |приращение | |

|отр. Тогда с |g`(x)(0. Тогда (|спроса, где а>0.|независимой | |

|одной стороны |т-ка с((a,b) |Найдем |переменной у и | |

|f(x) неогр. в |такая, что |эластичность |(х – | |

|окр-ти т-ки d на|справедл. ф-ла |спроса по цене. |соответствующее | |

|конц. отрезка |(f(b)-f(a))/(g(b|Ed(P)=P(D‘/D=P((|приращение | |

|[an,bn], но с |)-g(a))=f‘(c)/g‘|-a)/(-aP+b)=aP/(|обратной ф-ции | |

|др. стороны f |(c). |aP-b)=> эл-ность|x=((y). Напишем | |

|непр. на [a,b] и|Правило |линейной ф-ции |тождество: | |

|=> в т-ке d и по|Лопиталя. |не постоянна |(x/(y=1:(y/(x | |

|св-ву она непр. |Раскрытие 0/0. | |(2) Переходя к | |

|в некоторой |1-е правило | |пределу в рав-ве| |

|окрестности d. |Лопиталя. Если | |(2) при (у(0 и | |

|Оно огран. в d |lim(x(a)f(x)= | |учитывая, что | |

|=> получаем |lim(x(a)g(x), то| |при этом также | |

|против. |lim(x(a)f(x)/g(x| |(х(0, получим: | |

|Поскольку в |)= | |lim((y(0)(x/(y=1| |

|любой окр-ти |lim(x(a)f‘(x)/g‘| |:lim((x(0)(y/(x | |

|т-ки d нах-ся |(x), когда | |=> x‘y=1/y‘x. | |

|все отрезки |предел ( | |Где х‘у – пр-ная| |

|[an;bn] с |конечный или | |обратной ф-ции. | |

|достаточно |бесконечный. | |Производная | |

|большим 0. |Раскрытие (/(. | |обратной ф-ции | |

|Док-во т-мы 2. |Второе правило. | |Т-ма. Для диф. | |

|Обозначим E(f) –|Если | |ф-ции с пр-ной, | |

|множиством |lim(x(a)f(x)= | |не равной нулю, | |

|значений ф-ии |lim(x(a)g(x)=(, | |пр-ная обратной | |

|f(x) на отр. |то | |ф-ции равна | |

|[a,b] по предыд.|lim(x(a)f(x)/g(x| |обратной | |

|т-ме это мн-во |)= | |обратной | |

|огран. и сл-но |lim(x(a)f‘(x)/g‘| |величине пр-ной | |

|имеет конечные |(x). Правила | |данной ф-ции. | |

|точные грани |верны тогда, | |Док-во. Пусть | |

|supE(f)=supf(x)=|когда | |ф-ция y=f(x) | |

|(при |x((,x(-(,x(+(,x(| |диф. и | |

|х([a,b])=M(<(). |a-,x(a+. | |y‘x=f‘(x)(0. | |

|InfE(f)= |Неопред-ти вида | |Пусть (у(0 – | |

|inff(x)=m(m>-().|0(, (-(, 0^0, | |приращение | |

|Для опр. докажем|1^(, (^0. | |независимой | |

|[a,b] f(x) |Неопр. 0(, (-( | |переменной у и | |

|достигает макс. |сводятся к 0/0 и| |(х – | |

|на [a,b], т.е. (|(/( путем | |соответствующее | |

|х*:f(x)=M. |алгебраических | |приращение | |

|Допустим |преобразований. | |обратной ф-ции | |

|противное, такой|А неопр. 0^0, | |x=((y). Напишем | |

|т-ки не ( и |1^(, (^0 с | |тождество: | |

|сл-но f(x)<M |помощью | |(x/(y=1:(y/(x | |

|(x([a,b] |тождества | |(2) Переходя к | |

|рассмотрим |f(x)^g(x)=e^g(x)| |пределу в рав-ве| |

|вспомогат. ф-цию|lnf(x) сводятся | |(2) при (у(0 и | |

|g(x)=1/(M-f(x) |к неопр вида 0 | |учитывая, что | |

|при х([a,b]. | | |при этом также | |

|g(x) – непр. как| | |(х(0, получим: | |

|отношение 2-х | | |lim((y(0)(x/(y=1| |

|непр. ф-ций и то| | |:lim((x(0)(y/(x | |

|знач. 0 | | |=> x‘y=1/y‘x. | |

|согластно т-ме 1| | |Где х‘у – пр-ная| |

|g(x)- огран. | | |обратной ф-ции. | |

|т.е. ( c>0 | | | | |

|!0<g(x)(c g(0, | | | | |

|на [a,b] – | | | | |

|1/(M-f(x))(c => | | | | |

|1(c(M-f(x)) => | | | | |

|f(x) (M-1/c | | | | |

|(x([a,b] | | | | |

|Однако это | | | | |

|нер-во | | | | |

|противор., т.к. | | | | |

|М-точная верхн. | | | | |

|грань f на [a,b]| | | | |

|а в правой части| | | | |

|стоит “C” | | | | |

|Следствие: если | | | | |

|f(x) непр. | | | | |

|[a,b]тогда она | | | | |

|принимает все | | | | |

|знач. заключ. | | | | |

|Между ее max и | | | | |

|min, т.е. | | | | |

|E(f)=[m;M], где | | | | |

|m и M –max и min| | | | |

|f на отрезке. | | | | |