Система Лотка-Вольтерра

Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7

[pic]

Задание:

1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров

системы.

2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в

зависимости от параметров системы.

3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их

существование/несуществование.

4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах

системы.

5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1. Вводим новые переменные x ( Ax, y ( By, t ( Tt и переписываем систему:

[pic]

2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

2. [pic]

P[pic]

3. [pic]

Q[pic]

3. Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

[pic]

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом

портрете возможные области значений [pic].

а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р[pic]:

[pic]

Область 1: [pic]

Область 2: [pic]

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3: [pic]

Точка Р – седло

в) точка Q[pic]:

Область 1: [pic]

Область 2: [pic]

Область 3: [pic]

[pic]

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений

Якобиана возникает уравнение

[pic]

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку

аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для

этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном

значении [pic] были рассмотрены точки ([pic])области 3, для которых

проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей

области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 –

3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой

области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

| |1 |2 |3 |3 – 3’ |

|\Область | | | | |

|Точка | | | | |

|O |сток |сток |сток |сток |

|P |не сущ. |исток |седло |седло |

|Q |не сущ. |не сущ. |исток |неуст. фокус|

4.1 Параметрические области системы

[pic]

Область 1: [pic]

[pic]

4.3 Область 2: [pic]

[pic]

Область 3’ : [pic]

[pic]

4.5 Область 3 – 3’ : [pic]

[pic]

5. Биологическая интерпретация модели.

[pic]

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе

двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой

системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y –

хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) –

функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв

(характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая

функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним

хищником, на изменение численности популяции хищников).

[pic]

[pic]