Способы решения систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема.

Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе

математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к

исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и

определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается.

Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей.

В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства

определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые

другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно

рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения:

правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в

той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую

часть моего реферата.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения

систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения

любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно

выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц,

определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние

данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также

провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры

важнейших моментов этой работы.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1 ;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2 ;

……………………………………

an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn ;

a). Если (((, то система (1) имеет единственное решение,

которое может быть найдено по формулам Крамера: x1=[pic], где

определитель n-го порядка (i ( i=1,2,...,n) получается из определителя

системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,..., bn.

б). Если (((, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений ,

либо несовместна ,т.е. решений нет. Например:

решить систему уравнений

[pic].

Вычислим определитель системы:

[pic]

Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по

формулам Крамера. Найдем определители ?x , ?y:

[pic] [pic]

[pic] [pic].

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных

уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится

вычислять п +1 определителей n-го порядка: (, (x1, (x2, …,(xn. Более

удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем

случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает

с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2;

. ……………………………………

аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm

Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении

переменных. Например:

Решить методом Гаусса систему уравнений

x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;

3x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2;

2x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 9;

x1 + 3x2 – 3x3 – x4 = –1.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений

отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 –2 1 1 –1

B = 3 2 –3 –4 2 .

2 –1 2 –3 9

1 3 –3 –1 –1

Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем

соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу,

эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

0 8 –6 –7 5

0 3 0 –5 11

0 5 –4 –2 0

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем

новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой

строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

0 –1 –6 8 –28

0 0 –1 0 –3

0 0 0 19 –19

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;

- X2 – 6x3 + 8x4 = –28;

– x3 = –3;

19x4 = –19.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от

последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x4 = –1, из

третьего х3 = 3. Подставив значения х3 и x4 во второе уравнение, найдем x2

= 2. Подставив значения x2, x3, x4 в первое уравнение, найдем x1 = 1.

Теорема совместности Кронекера – Капелли звучит следующим образом: Для

того, чтобы система неоднородных линейных уравнений была совместной,

необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен

рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример:

Рассмотрим систему

5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7;

2x1 + x2 – 4x3 – 2x4 = 1;

x1 – 3x2 + 6x3 – 5x4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от

нуля минор второго порядка этой матрицы, например

5 –1 = 7,

2 1

а все миноры третьего порядка равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный

от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например

5 –1 7

2 1 1 = –35.

1 –3 0

Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет

решений.

В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над

матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и

быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела

практические исследования, приводя примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных

экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому

умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в

процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения

по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве

дополнительного материала.