Теорема об объеме усеченной пирамиды

Теорема об объеме усеченной пирамиды

Дано:

Пирамида SABC,

пирамида A1B1C1ABC,

Sосн=S, Sсеч=S1

Доказать, что V=1/3h(S + ((SS1)

Доказательство.

Объем пирамиды SABC равен: V=1/3Sh1, а пирамиды SA1B1C1 равен: V=1/3S1h2.

Vу=Vп – Vм= 1/3(Sh1 – S1h2) (*)

(1) h1=h + h2 ( h= h1 - h2

S1 : S = h2 : h ( S1 /S = h /h ( h = (S h/S (2)

h – h =(S /S h ( h - (S /S h = h (3)

из (*) с учетом (1) и (2) V = 1/3 (Sh - S (Sh /S)

(3) h = h - (S /S h = h(S - (S h /(S = h((S - (S )/(S ( h = h(S /((S - (S)

Тогда: V = 1/3 ( S*(h (S/((S - (S) – S (S /S *(h (S /(S - (S ) = 1/3h ((S(S

/(S-(S ) - S(S (S /(S((S - (S))= 1/3h (S – S (S S /(S((S - (S ))= 1/3h (

S(S - S(S/((S - (S)) = 1/3h (((S ) – ((S ) /(S - (S = 1/3h ( ((S - (S)(S +

(SS + S)/(S - (S =

= 1/3h (S = S1 + (SS1) Ч. Т. Д.