Теорема Штольца

Теорема Штольца

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) [pic];

b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений

варианты [pic];

c) [pic];

d) [pic].

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения

последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы

Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений [pic] типа [pic]

часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта [pic], причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с

возрастанием n и [pic] возрастает: [pic]. Тогда [pic]=[pic],

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу [pic]:

[pic].

Тогда по любому заданному [pic] найдется такой номер N, что для n>N будет

[pic]

или

[pic].

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби [pic], [pic], …, [pic],

[pic]лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду

возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же

границами содержится и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех

числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех

знаменателей. Итак, при n>N

[pic].

Напишем теперь тождество:

[pic],

откуда

[pic].

Второе слагаемое справа при n>N становится <[pic]; первое же слагаемое,

ввиду того, что [pic], также будет <[pic], скажем, для n>N’. Если при

этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, [pic], что и доказывает наше

утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например, [pic]. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для

достаточно больших n) [pic], следовательно, вместе с yn и xn[pic],

причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае,

доказанную теорему можно применить к обратному отношению [pic]

[pic]

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что [pic], что и

требовалось доказать.

2. При а>1

[pic]

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:[pic]

[pic]

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного

предложения:

Если варианта an[pic]имеет предел (конечный или бесконечный), то этот

же предел имеет и варианта

[pic]

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+…+an, yn=n,

Имеем:

[pic]

Например, если мы знаем, что [pic],

то и [pic]

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

[pic],

которая представляет неопределённость вида [pic].

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,

будем иметь

[pic].

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…

и

[pic].

5. Определим предел варианты

[pic] ,

представляющей в первой форме неопределенность вида [pic], а во второй –

вида [pic]. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз

неопределенное выражение вида [pic]:

[pic].

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще

раз ту же теорему. Получим

[pic].

Но [pic],

а [pic],

так что, окончательно,

[pic].

Пример 1.

[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]= [pic]=[pic][pic]=[pic]=[pic].

Пример 2.

[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic]=

=[pic].

Пример 3.

[pic]

=[pic]

=[pic].

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.

последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно

обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция [pic], причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk),

т.е. функция возрастающая.

Тогда [pic],

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

[pic].

Тогда, по определению предела [pic]

[pic]

или

[pic].

Значит, какой бы [pic] ни взять, все дроби

[pic], [pic], …, [pic]

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания

g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится

и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех числителей, написанных

выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при [pic]

[pic].

Напишем тождество(которое легко проверить):

[pic],

Откуда

[pic].

Второе слагаемое справа при [pic] становится [pic]; первое же

слагаемое, ввиду того, что [pic], так же будет [pic], скажем, для [pic].

Если при этом взять [pic], то для [pic], очевидно [pic], что и доказывает

теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1. [pic] очевидна неопределенность [pic]

[pic]=[pic]=[pic]=2

2. [pic] неопределенность [pic]

[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=0

3. [pic] неопределенность [pic]

[pic]=[pic]=[pic]=[pic]

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией

Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления”

Физматгиз 1962г. Москва.