Теория управления

Теория управления

1. Общая постановка задачи управляемости.

Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический

объект- объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого

динамического объекта в момент времени [pic]характеризуется параметрами

[pic]. Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор- фазовый

вектор.

Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров

[pic]- параметры управления, u(t)- вектор управления. Положение объекта

зависит только от того, какое управление было до момента времени [pic], и

не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от

описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.

Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением

1) [pic]- эта система решается приближенным методом.

2) x(t) должны принадлежать [pic], [pic]. Класс допустимых управлений x(t),

[pic]не можат быть произвольным. [pic], как правило мн-во замкнуто и

ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления,

кроме этого на [pic]могут быть наложены ограничения по времени.

3)Начальное и конечное состояние объекта.[pic]на интервале [pic], [pic],

[pic].Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект,

описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за

промежуток времени [pic], из состояния [pic].Это может быть достигнуто

разными способами.

4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида [pic]. Находим такие

[pic], что [pic]

2. Основные вопросы в теории ОУ.

1) 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из

состояния [pic], за промежуток времени [pic].

2) Существует ли ОУ.

3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.

4) Достаточные условия ОУ.

5) Единственность ОУ.

3. Постановка линейной задачи.

Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение

которого описывается системой (1) [pic], x- n-мерный вектор, , A-матрица

nxn, u имеет ту же размерность, что и [pic], [pic], [pic]-замкнуто и

ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из

начального мн-ва [pic] в конечное множество [pic], если существует решение

уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям [pic]и [pic]. Цель

управления - перевод динамический объекта из [pic]в [pic], а качество

определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача

быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления,

которое осуществляет переход из множества [pic]в [pic]за наименьшее

время.[pic]

4. Пространство [pic], алгебраическая сумма[pic], произведение множества на

число [pic].

Пространство [pic]-пространство состоящее из всевозможных не пустых

компактных подмножеств пр-ва [pic].

Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.

Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.

Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы

одна точка мн-ва F отличная от f.

Операции:1) алгебраической суммой[pic]наз. мн-во C такое, что любой элемент

[pic], [pic][pic].

2) произведением множества на число [pic] наз. мн-во C такое, что любой

элемент [pic].

5.[pic], хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.

[pic]-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где [pic].

Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:

[pic] -расстояние между мн-ми A и B ([pic]) явл. наименьшее положительное

число r.

Лемма: Пусть [pic]- выпуклы, тогда хаусдорффова норма [pic][pic]

6. Опорные функции.

Задано множество [pic]и вектор [pic] . Для этих двух элементов можно

определить опорную функцию следующим образом [pic], где C опорная функция.

[pic], [pic]

[pic], [pic].

[pic], [pic][pic].

Пусть [pic]-некоторый фиксированный вектор, а [pic]один из векторов

множества F, на котором опорная функция достигает максимум: [pic]. В этом

случае [pic]наз. опорным вектором мн-ва F в точке [pic]. А совокупность

всех векторов [pic]наз. опорным множеством к множеству F в направлении

[pic].Гиперплоскость [pic]- наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в

направлении [pic]. Гиперплоскость [pic] разбивает [pic]на два

подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый

относительно [pic], т.к. для всех точек [pic]выполняется неравенство

[pic]. Если считать, что [pic]- единичный вектор, [pic],

[pic]. опорных [pic]

7. Свойства опорной функции.

1. Опорные функция- положительно однородная по переменной [pic].

[pic]. Это значит что [pic][pic],[pic].

[pic]

2. Для [pic]опорные функции удовлетворяют неравенству: [pic]3. Два

множества [pic] и [pic], [pic], [pic]Пусть матрица A размера n на n, [pic]и

рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.

[pic].

4. [pic],где [pic]-матр. сопряженная с матр. [pic].

5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. [pic] ,

[pic]. Пусть [pic] и пользуемся : 1) условием однородности: [pic]6. Пусть

задано множество [pic]и его опорная фун. [pic] . Выпуклая оболочка мн-ва F

[pic], [pic].

7. Если [pic]и A=B, то опорная фун.[pic]. И наоборот, если [pic],то[pic].

Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их

опорные функции.

8. Если [pic]и [pic]. В этом случае [pic]. Если [pic],то[pic]. Следствие:

Выпуклые мн-ва [pic] тогда и только тогда, когда равны их опорные функции

[pic].

9. Пусть задано множество [pic], тогда [pic]. В обратную сторону: [pic],

когда [pic]. Следствие: Точка [pic] выпуклому мн-ву [pic] , тогда и только

тогда , когда [pic].

10. Пусть задано множество [pic], а [pic], тогда [pic]. [pic][pic].

Следствие: Пусть задано множество [pic], [pic], тогда и только тогда,

когда [pic].

[pic] и если [pic], то [pic]. И наоборот: Если [pic],то [pic].Следствие:

Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда [pic].

8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для

опорных функций.

Пусть [pic]-два метрических пространства с метриками [pic]и пусть f

отображает [pic]. f непрерывна в точке [pic], если [pic] такое что [pic]

Условие Липшица: Функция f, отображающая [pic], удовлетворяет условию

Липшица с const L , если для любых двух точек [pic], выполняется

неравенство [pic] ,для опорных функций [pic], [pic], [pic]:[pic][pic]

Лемма: Опорная функция [pic] удовлетворяет условию Липшеца по f с const

L=[pic].

Лемма: Пусть [pic]- выпуклы, тогда хаусдорффова норма [pic][pic]

9. Многозначные отображения.

Многозначным отображением будем называть функцию [pic]у которой аргументом

является число, а значением некоторые множества

10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.

Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке [pic], если для [pic].

Лемма: Пусть [pic]непрерывное многозначное отображение , когда

[pic]непрерывна по t при всяком фиксированном [pic], более того

[pic]равномерно непрерывно по t [pic].

Если [pic] равномерно непрерывно по t [pic], то многозначное отображение

conv F(t) непрерывно.

11. Измеримые многозначные отображения. Лемма о равномерной непрерывности

многозначного отображения.

Функция f(t) отображающая [pic]в некоторое метрическое пр-во [pic]с

метрикой [pic]называется измеримой, если праобраз любого шара [pic]есть мн-

во измеримое.

12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от

многозначного отображения.

F-многозначное отображение, такое что F: I[pic][pic], где [pic] , [pic]-

замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.

Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество

G (G[pic]) вида: [pic]. Это мн-во значений интеграла по всем однозначным

ветвям отображения

F(t) .

Теорема 3: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет

условию: [pic], где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на

отрезке I и измерима, тогда [pic]непрерывна на отр. I .

Опорная функция [pic][pic], где F[pic], [pic].