Теория устойчивости

Теория устойчивости

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое

применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости

замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ;

во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально

определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных

характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике

Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем

регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали

его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( ( ) = ( n + a1 ( n-1 + a2 ( n-2 + ... + an =

0. (13)

Зная его корни ( 1 , ( 2 , ... , ( n , характеристический

многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( ( ) = ( ( - ( 1 ) ( ( - ( 2 ) ... ( ( - ( n ).

(14)

Im Im

0 Re 0 Re

а) б)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения

замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней ( и ( i ;

б - для четырех корней ( 1 , ( ‘1 , ( 2 , ( ‘2

Графически каждый комплексный корень ( можно представить точкой на

плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14)

можно представить в виде разности двух векторов ( ( - ( i ), как это

показано на рис.12,а. Положим теперь, что ( = j ( ; тогда

определяющей является точка ( на мнимой оси (рис.12,б). При изменении

( от - ( до + ( векторы j ( - ( 1 и j ( - ( ‘1

комплексных корней ( и ( ‘1 повернуться против часовой стрелки, и

приращение их аргумента равно + ( , а векторы j ( - ( 2 и j

( - ( ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента

равно - ( . Таким образом, приращение аргумента arg( j ( - (

i ) для корня характеристического уравнения ( i , находящегося в левой

полуплоскости, составит + ( , а для корня, находящегося в правой

полуплоскости, - ( . Приращение результирующего аргумента ( arg D(

j ( ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если

сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой

полуплоскости, то приращение аргумента составит

( arg D( j ( ) = ( n - m ) ( - m ( = ( n - 2m ) ( .

(15)

- ( < ( < ( для левой для правой

полуплоскости полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j ( ) = ( j ( )n + a1 ( j ( )n-1 + a2 ( j ( )n-2 + ... + an

(16)

содержит лишь четные степени ( , а мнимая его часть - только нечетные,

поэтому

arg D ( j ( ) = - arg D ( -j ( ),

(17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале ( от 0 до

( . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического

многочлена

( arg D( j ( ) = ( n - 2m ) ( / 2 .

(18)

0 ( ( < (

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что

приращение аргумента

( arg D( j ( ) = n ( / 2 .

(19)

0 ( ( < (

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий

устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического

регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф

характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова)

начинался на положительной части действительной оси и проходил

последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат,

n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического

уравнения системы).

j V’ j V’

0 U’ 0

U’

а) б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических

уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4

и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений

различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы

Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.