РУБРИКИ |
Теория вероятности |
РЕКЛАМА |
|
Теория вероятностиТеория вероятностиМатематический аппарат современной экономики часто используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения. Случайные величины Определение. Пусть [pic]— произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной [pic]называется измеримая функция [pic], отображающая [pic]в множество действительных чисел [pic], т.е. функция, для которой прообраз [pic]любого борелевского множества [pic]есть множество из [pic]- алгебры [pic]. Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости. 2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки [pic]. Множество значений случайной величины [pic]будем обозначать [pic], а образ элементарного события [pic]— [pic]. Множество значений [pic]может быть конечным, счетным или несчетным. Определим [pic]-алгебру на множестве [pic]. В общем случае [pic]-алгебра числового множества [pic]может быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов [pic]или полуинтервалов вида [pic]([pic]), в которых одно из чисел [pic]или [pic]может быть равно [pic]или [pic]. В частном случае, когда [pic]— дискретное (не более чем счетное) множество, [pic]-алгебру образуют любые подмножества множества [pic], в том числе и одноточечные. Таким образом [pic]-алгебру множества [pic]можно построить из множеств [pic]или [pic], или [pic]. Будем называть событием [pic]любое подмножество значений [pic]случайной величины [pic]: [pic]. Прообраз этого события обозначим [pic]. Ясно, что [pic]; [pic]; [pic]. Все множества [pic], которые могут быть получены как подмножества [pic]из множества [pic], [pic], применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины [pic]— [pic]и выделив систему событий [pic], построим измеримое пространство [pic]. Определим вероятность на подмножествах (событиях) [pic]из [pic]таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: [pic]. Тогда тройка [pic]назовем вероятностным пространством случайной величины [pic], где [pic] — множество значений случайной величины [pic]; [pic]— [pic]-алгебра числового множества [pic]; [pic]— функция вероятности случайной величины [pic]. Если каждому событию [pic]поставлено в соответствие [pic], то говорят, что задано распределение случайной величины [pic]. Функция [pic]задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события [pic]. Тогда событиями могут быть события [pic]. Функция распределения и ее свойства Рассмотрим вероятностное пространство [pic], образованное случайной величиной [pic]. Определение. Функцией распределения случайной величины [pic]называется функция [pic]действительного переменного [pic], определяющая вероятность того, что случайная величина [pic]примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа [pic]: [pic](1) Там где понятно, о какой случайной величине [pic], [pic]или [pic]идет речь, вместо [pic]будем писать [pic]. Если рассматривать случайную величину [pic]как случайную точку на оси [pic], то функция распределения [pic]с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка [pic]в результате реализации эксперимента попадет левее точки [pic]. Очевидно что функция [pic]при любом [pic]удовлетворяет неравенству [pic]. Функция распределения случайной величины [pic]имеет следующие свойства: 2) Функция распределения — неубывающая функция [pic], т.е. для любых [pic]и [pic], таких что [pic], имеет место неравенство [pic]. Доказательство. Пусть [pic]и [pic]и [pic]. Событие, состоящее в том, что [pic]примет значение, меньшее, чем [pic], [pic]представим в виде объединения двух несовместных событий [pic]и [pic]: [pic]. Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, [pic]или по формуле (1) [pic], (2) откуда [pic], так как [pic]. Свойство доказано. Теорема. Для любых [pic]и [pic]вероятность неравенства [pic]вычисляется по формуле [pic](3) Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины [pic]в полуинтервал [pic]равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала [pic]и [pic]. 2) [pic]; [pic]. Доказательство. Пусть [pic]и [pic]— две монотонные числовые последовательности, причем [pic], [pic]при [pic]. Событие [pic]состоит в том, что [pic]. Достоверное событие [pic]эквивалентно объединению событий [pic]: [pic]; [pic]. Так как [pic], то по свойству вероятностей [pic], т.е. [pic]. Принимая во внимание определение предела, получаем [pic]; [pic] 3) Функция [pic]непрерывна слева в любой точке [pic], [pic] Доказательство. Пусть [pic]— любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к [pic]. Тогда можно записать: [pic] На основании аксиомы 3 [pic] Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к [pic], то остаток ряда, начиная с некоторого номера [pic], будет меньше [pic], [pic](теорема об остатке ряда) [pic]. Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим [pic], откуда [pic]или [pic], а это означает, что [pic]. Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения [pic]является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию [pic]и [pic]. И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа [pic], вычисляется по формуле [pic]. Доказательство. Достоверное событие [pic]представим в виде объединения двух несовместных событий [pic]и [pic]. Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова [pic]или [pic], откуда следует искомая формула. Определение. Будем говорить, что функция распределения [pic]имеет при [pic]скачок [pic], если [pic], где [pic]и [pic]пределы слева и справа функции распределения [pic]в точке [pic]. Теорема. Для каждого [pic]из пространства [pic]случайной величины [pic]имеет место формула [pic] Доказательство. Приняв в формуле (3) [pic], [pic]и перейдя к пределу при [pic], [pic], согласно свойству 3), получим искомый результат. Можно показать, что функция [pic]может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка [pic], скачков [pic]— не более 3-х, скачков [pic]не более чем [pic]. Иногда поведение случайной величины [pic]характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения [pic]. |
|
© 2007 |
|