VII Соросовская олимпиада. Заочный тур Математика 9 класс

VII Соросовская олимпиада. Заочный тур Математика 9 класс

VII Соросовская олимпиада. Заочный тур Математика 9 класс

9-I-1. Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x;y) которых

удовлетворяют уравнению x3 + y3 = x2y2 + xy.

9-I-2. Найдите a, b, c, d, при которых для всех x имеет место равенство

||x| - 1| = a|x| + b|x - 1| + c|x + 1| + d .

9-I-3. Представьте 102 в виде суммы наибольшего числа различных простых

чисел.

9-I-4. Расстояние между городами A и B равно 30 км. Из A выехал автобус,

который через каждые 5 км делает остановку продолжительностью 2 мин. Между

остановками автобус движется со скоростью 80 км/ч. Одновременно с

отправлением автобуса из A навстречу ему из B выезжает велосипедист,

который едет со скоростью 27 км/ч. На каком расстоянии от A велосипедист

встретится с автобусом?

9-I-5. При всех допустимых значениях a и b решите уравнение

x3 / (x - a)(x - b) + a3 / (a - b)(a - x) + b3 / (b - x)(b - a) = x2 + a +

b.

9-I-6. Две вершины прямоугольника расположены на стороне BC треугольника

ABC, а две другие на сторонах AB и AC. Известно, что середина высоты этого

треугольника, проведенной к стороне BC, лежит на одной из диагоналей

прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на BC, в три раза

меньше BC. В каком отношении высота треугольника делит сторону BC?

9-I-7. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD при продолжении пересекаются в

точке E. На диагоналях AC и BD взяты соответственно точки M и N так, что

AM/AC = BN/BD = k. Найдите площадь треугольника EMN, если площадь

четырехугольника ABCD равна S.

9-I-8. Дан треугольник ABC. На его сторонах BC, CA и AB взяты

соответственно точки A1, B1 и C1 так, что 2(B1A1C1 + (BAC = 180(, 2(A1C1B1

+ (ACB = 180(, 2(C1B1A1 + (CBA = 180(. Найдите геометрическое место центров

окружностей, описанных около треугольников A1B1C1 (рассматриваются

всевозможные такие треугольники).