Высшая математика

Высшая математика

Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность – менеджмент

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Высшая математика.

Вариант № 1.

Выполнил студент Ганин Д.Ю.

Студенческий билет № 1211

Группа № УП4-1-98/2

Москва, 1999 г.

Содержание

Часть I. 3

Задание №2. Вопрос №9. 3

Задание №3. Вопрос №1. 3

Задание №12. Вопрос №9. 5

Задание №13. Вопрос №2. 5

Задание №18. Вопрос №9 6

Часть II. 9

Задание №8. Вопрос №8. 9

Задание №12. Вопрос №9. 10

Задание №14. Вопрос №2. 10

Задание №15. Вопрос №6. 11

Задание №18. Вопрос №9. 12

Дополнительно Часть I. 13

Задание №7. Вопрос №1. 13

Задание №9. Вопрос №8. 13

Задание №11. Вопрос №6. 14

Задание №15. Вопрос №1. 15

Дополнительно Часть II. 15

Задание №7. Вопрос №1. 15

Задание №9. Вопрос №8. 16

Задание №11. Вопрос №6. 18

Задание №15. Вопрос №1. 18

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может

иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из

имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

|[pic] |машин ежедневно остается в гараже на |

| |профилактическом ремонте. |

|[pic] |машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |

|[pic] |водителей из штата гаража ежедневно не выходит в |

| |рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |

|[pic] |количество водителей в течение месяца, не |

| |выходящих в рейс из-за профилактического ремонта |

| |автомашин. |

|[pic] |дней в месяц каждый водитель из штата гаража не |

| |выходит в рейс из-за профилактического ремонта |

| |автомашин. |

|Ответ: |Каждый водитель из штата гаража в течение месяца |

| |может иметь [pic] свободных дней. |

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и

найдите координаты точки равновесия, если [pic], [pic].

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения

Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

|С осью OP (Q=0): |С осью OQ (P=0): |

|Для Q=QS(P): |Для Q=QD(P): | |

|[pic] |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |[pic] |

| |[pic] | |

Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются

прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с

осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика

(рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в

которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

[pic], из этой системы получаем: [pic]

[pic]

[pic]

[pic], тогда [pic], значит координаты т.M[pic].

|Ответ: |Координаты точки равновесия равны [pic], [pic] |

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите

производные следующих функций:

[pic]

Решение:

[pic]

|Ответ: |Производная заданной функции равна [pic] |

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение

|числа: |[pic] |

Решение:

[pic]

|Ответ: |Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |

Задание №18. Вопрос №9

|Исследуйте функцию и постройте ее график: |[pic] |

Решение:

1. Область определения данной функции: [pic].

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

|С осью OY [pic]: |С осью OX [pic]: |

|[pic] |[pic], дробь равна нулю, если ее числитель|

| |равен нулю, т.е. |

| |[pic] |

| |[pic] |

| |[pic] |

|Точка пересечения: [pic] |Точки пересечения: [pic], [pic] |

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.

Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: [pic], где:

[pic][pic]т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение

имеет вид: [pic], т.е. [pic]- уравнение горизонтальной асимптоты.

5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую

производную:

[pic]

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая

производная функции равна нулю, т.е. [pic]:

[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], отсюда

[pic], следовательно [pic], значит точка [pic] - точка экстремума функции.

На участке[pic] производная [pic] > 0, значит, при [pic], заданная функция

возрастает.

На участке[pic] производная [pic] < 0, значит, при [pic], заданная функция

убывает (рис 2.).

Следовательно [pic] - точка максимума заданной функции [pic].

6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем

ее вторую производную:

[pic]

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная

функции равна нулю, т.е. [pic]:

[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], значит

[pic], тогда [pic], отсюда [pic]

Отсюда [pic], [pic].

На участке[pic] производная [pic]>0, значит это участок вогнутости графика

функции.

На участке [pic] производная [pic] >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при[pic] график заданной функции является вогнутым.

На участке[pic] производная [pic]<0, значит, при [pic] график заданной

функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки [pic], [pic] - точки перегиба графика заданной функции

[pic].

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график

(см. рис. 4).

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах[pic] и[pic]. Задана

функция полных издержек [pic]. Цены этих товаров на рынке равны [pic] и

[pic]. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная

прибыль, найти эту прибыль.

[pic], [pic], [pic]

Решение:

Пусть [pic] - функция прибыли, тогда

[pic]

Найдем первые частные производные функции [pic]:

[pic], [pic]. Найдем стационарные точки графика функции [pic]. Для этого

решим систему:

[pic]

[pic]

Следовательно [pic]- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для

этого

введем обозначения: [pic], [pic], [pic],

тогда [pic], [pic], [pic], [pic]. Т.к. [pic]> 0, то экстремум есть, а т.к.

[pic]< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска [pic]и [pic],

достигается максимальная прибыль равная:

[pic]

|Ответ: |[pic] и достигается при объемах выпуска [pic]и [pic]. |

Задание №12. Вопрос №9.

|Вычислить неопределенный интеграл: |[pic] |

Решение:

[pic]

|Ответ: |[pic] |

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

[pic].

Решение:

[pic]

|Ответ: |Данный несобственный интеграл – расходящийся. |

Задание №15. Вопрос №6.

|Решить уравнение |[pic] |

Решение:

[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем

полученное уравнение [pic]. Представим [pic], как [pic], тогда

[pic]

[pic]

[pic]

|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |

Задание №18. Вопрос №9.

|Найти общее решение уравнения: |[pic] |

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: [pic], тогда [pic],

следовательно [pic], [pic], тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

[pic], [pic]

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями

уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений [pic] и [pic],

возьмем [pic], [pic], тогда общее решение однородного уравнения будет иметь

вид: [pic]

Представим правую часть уравнения, как [pic] и сравним с выражением,

задающим правую часть специального вида:

[pic]. Имеем [pic], [pic], тогда т.к. [pic] - многочлен второй степени, то

общий вид правой части: [pic]. Найдем частные решения:

[pic], [pic], [pic]

[pic]

[pic]

Сравним коэффициенты при [pic] слева и справа, найдем [pic], решив систему:

[pic], отсюда [pic].

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:

[pic].

|Ответ: |[pic]. |

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: [pic].

Решение:

[pic].

|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

[pic].

Решение:

1. Область определения данной функции: [pic].

2. Т.к. точка [pic] не входят в область значений функции, то это точка

разрыва, а т.к. [pic] и [pic], следовательно, уравнение [pic] – уравнение

вертикальной асимптоты.

3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: [pic], где:

[pic]

[pic]

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: [pic].

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты [pic] с осями

координат:

С осью OX: точка[pic],

с осью OY: точка[pic]

|Ответ: |[pic] и [pic] – уравнения асимптот заданной функции.|

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: [pic].

Решение:

Т.к. по определению производная функции [pic] в точке [pic] вычисляется

по формуле [pic], тогда приращение [pic] в точке [pic]: [pic].

Следовательно [pic].

|Ответ: |[pic]. |

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: [pic].

Решение:

[pic].

|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке [pic] уравнение касательной плоскости к поверхности,

заданной уравнением: [pic].

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции [pic] в точке [pic]

имеет вид: [pic]. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение

поверхности: [pic]. Подставив в полученное уравнение координаты точки [pic]

вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их

приращения, получим:

[pic]

[pic].

|Ответ: |Уравнение касательной плоскости к заданной |

| |поверхности в заданной точке [pic] имеет вид [pic]. |

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции [pic] в области:

[pic].

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной

области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в

стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе

области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

[pic], точка [pic] не принадлежит заданной области дифференцирования,

значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,

наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области

дифференцирования. Граница области ограничена окружностями [pic] и [pic].

Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области

дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

1. [pic], тогда [pic], [pic], следовательно, система уравнений для

определения координат экстремальной точки имеет вид:

[pic]

Эта система имеет четыре решения:

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

2. [pic], тогда [pic], [pic],

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной

точки имеет вид:

[pic]

Эта система также имеет четыре решения:

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |В точке [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

Следовательно, заданная функция [pic] в заданной области дифференцирования

достигает наибольшего значения в точках [pic] и [pic] и наименьшего в

точках [pic] и [pic] при этом графики функций [pic] и [pic] касаются

окружности [pic] в точках [pic], [pic] и [pic], [pic] соответственно (см.

рис.6).

|Ответ: |Заданная функция [pic] при условии [pic] имеет [pic]|

| |и [pic]. |

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: [pic].

Решение:

[pic]

|Ответ: |Заданный неопределенный интеграл равен [pic]. |

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: [pic].

Решение:

[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем

полученное уравнение:

[pic]

[pic].

|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |

-----------------------

Рисунок 2.

[pic]

Исследование на экстремум.

Рисунок 1.

[pic]

График функции спроса и предложения.

Рисунок 4.

[pic]

|График заданной функции |[pic] |

Рисунок 3.

[pic]

Исследование на выпуклость.

Рисунок 5.

[pic]

Графики асимптот функции[pic]

Рисунок 6.

[pic]

График наибольших/наименьших значений функции [pic] при [pic].