|
|
|
|
Курсовая: Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют ограниченные финансовые возможности (перевод)
Курсовая: Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют ограниченные финансовые возможности (перевод)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
ПО МАКРОЭКОНОМИКЕ
НА ТЕМУ:
“Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют
ограниченные финансовые возможности.”
(перевод)
Выполнила:
Студентка
гр. Э – 255
Зизе Н. В.
Проверил:
Преподаватель
Попкова Е.Г.
г. Волгоград 2002 год.
Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют
ограниченные финансовые возможности.
ЙЕН-КУ ШИ
Университет Висконсин-Медисон и Школа Ел Ло.
И
ЯН ГЕИЛ
Университет Джорджтаун
Первая версия была получена в июне 1995г.; Заключительная версия была принята
в мае 1997г. (редакторы)
Мы развиваем методику анализа доходов и эффективного проведения аукционов при
условии, когда участники торгов обладают информацией о своей готовности и
способности платить. Тогда мы применяем эту структуру к сценариям, который
использует стандартные механизмы аукциона. В самом простом случае, когда
участники имеют ограниченную покупательную способность, первичные аукционы
дают более высокую ожидаемую прибыль и социальное активное сальдо, чем
вторичная аукционы. Преобладание прибыли первичных аукционов над вторичными
приводит к случаю, когда участники торгов имеют возможность получить кредит.
Эти классификации объясняются различиями в той степени, с которой финансовые
ограничения влияют на участников торгов в различных формах аукциона.
1. ВВЕДЕНИЕ
Аукционы используются для того чтобы продавать товары, начиная с недвижимости
и произведений искусства и заканчивая правами на добычу минеральных ресурсов
и вырубку леса. Недавно, американская Федеральная Комиссия Коммуникаций (FCC)
продала право на предложение ассортимента «Персональные Услуги Коммуникаций»
(PCS) цена на которое, в процессе аукциона, достигла 9 миллиардов долларов
(см. Cram-ton (19956)). Аукционы, также, часто проводятся на рынке контроля,
на рынке услуг профессиональных спортсменов, на приватизации фирм
контролируемых правительством и как часть слушаний процессов о банкротстве.
В этой работе мы изучаем проведение аукциона, когда его участники сталкиваются с
увеличением цены, которая достигает предела их финансовых возможностей. Эта
способность может проявляться в различных видах. Во-первых, покупатель может
быть ограничен в свободных финансах. К примеру на правительственных аукционах
цены продаж за частую высоки по отношению к свободным активам покупателей, так
что покупатели должны полагаться на дополнительное финансирование с дефицитами
рынка капитала, предельная стоимость финансирования увеличится.
[1] Стоимость финансирования может просто принимать форму оплаты платежей по
процентам, но может также повлечь за собой
увеличения контроля кредиторов над действиями заёмщика или понижение его долга.
[2] Во-вторых, покупатель может подвергнуться необходимости перевода своих
активов из производственной деятельности на растущие платежи по своему займу
при увеличении его расхода. В третьих ограничение финансирования может быть
результатом моральных проблем агента связанных с риском. Многие организации
принимают решения направленные на покупку партии ценных бумаг по единой цене, а
бюджеты часто облагаются налогом, чтобы контролировать их расходы.
[3] Наконец, ограничения в бюджете могут быть средством для того чтобы
уменьшить напряжение в конкуренции.
В результате целого ряда практических подробных исследований на первый план
выдвигается практическая важность ограниченной покупательной способности. В
случаях спада деловой активности, зачастую цены неликвидного имущества
обанкротившейся фирмы значительно снижаются.
[4] Финансовые ограничения могут объяснить решение некоторых претендентов
выйти из аукциона PCS (см. Cramton (1995a)), также как падение цен в конце дня
на аукционах продаж подержанных машин (см. Genesove (1993), с. 661).
Существование финансовых ограничений также учитывается при планировании
аукциона. Американское правительство часто ограничивает срок действия и размеры
на арендные договора по добыче минеральных ресурсов, и устанавливает некоторые
арендные договора для их продажи небольшим фирмам.
[5] На аукционах PCS, к примеру, предпочтения предоставляются «небольшим»
участникам торгов (взносы платежей с наиболее благоприятными процентными
ставками и 40% оплатой цены в кредит) которые могут увеличить доход
правительства более чем на 15% (см. Ayrcs и Cramton (1996)). Совместное участие
в торгах, которое разрешается для маленьких фирм на PCS аукционах, делает их
основные ограничения в финансах свободнее (см. Hendricks и Porter (1992)).
Выплаты арендной платы за разработку недр и общей арендной платы, которые
усугубляют ограничения финансовых возможностей участников торгов в течение
определённых периодов, широко распространены на аукционах по продаже прав на
разработку минеральных ресурсов. Эти наблюдения мотивируют наше изучение
воздействия финансовых ограничений на аукционах.
Ограниченная покупательная способность представляет для продавца качественно
отличающуюся проблему. Предположим, что бюджет покупателя составляет абсолютный
предел его расхода. Может показаться, что можно просто оценить способность
покупателя заплатить исходя из минимальной оценки им стоимости товаров и
бюджета, однако пример показывает, что это не верно. Предположим, что у
продавца есть объект для продажи 2 покупателям. В I случае у каждого покупателя
есть бюджет в 2 единицы, и они способны оценить товар в [0;1] единиц. В этом
случае бюджетные ограничения их не связывают, и первичные и вторичные аукционы
принесут ожидаемый доход 1/3, подтверждая равноценность дохода. Во II случае
покупатели оценивают товар в 2, а их бюджет сокращён до [0;1]. Хотя минимум
оценки товара и бюджета распределяется также как и в I случае, равноценность
дохода здесь не соблюдается. В последнем случае имеет место уравновешивающая
стратегия для того, кто предлагает цену исходя из своего бюджета. В обоих
случаях на аукционах при назначении 1 и 2 цены (таким образом, бюджетные
ограничения всегда оказывают своё влияние)[6]
ожидаемые доходы составят 2/3 и 1/3 соответственно в рассмотренных выше случаях.
[7]
Чтобы понять причину неэквивалентности рассмотрим ещё один пример. Два
покупателя, каждый из которых имеет бюджет w составляющий [0;1]. На вторичном
аукционе редко бывает так чтобы назначалась минимальная цена исходя из бюджета
и 1/2 которая приносит ожидаемый доход 0-292. На первичных аукционах
уравновешивающей стратегией для того, кто назначает цену, является назначение
цены размером w, если w принадлежит (0,1/4] и назначить цену l/2-l/16w если
w>4[8]. Эта стратегия приносит
ожидаемый доход 0-385.[9] Фактически эти
стандартные аукционы не являются оптимальными. Признав это рассмотрим аукцион с
полной оплатой на котором назначается самая высокая цена, но все претенденты
способны оплатить свои предложения. При такой форме аукциона стратегия
равновесия для каждого, назначить w/2[10]
, которая принесёт максимально возможный ожидаемый доход, 1/2 – оценка стоимости
объекта.
В этом последнем примере степень с которой бюджетные ограничения влияют на торги
зависит от форм аукциона, что приводит к различным способам получения доходов.
Покупатели с w < 1 /2, покупатели с w< 1 /4 ограниченны соответственно на
первичном и вторичном аукционах. Не имея ограничений бюджета покупатели
назначают более низкие цены на первичном аукционе нежели на вторичном, т.к.
выигравшие оплачивают своё предложение по прежней цене, н обычно платят меньше
чем назначенная им последняя цена. Таким образом, ограничения влияют на
первичном аукционе меньше чем на аукционах с полной оплатой. Претенденты
стремятся назначить меньшие цены т.к. они теряют право на свои предложения,
даже когда они проигрывают.
Главная часть этой работы обобщает эти наблюдения и представляет их в виде
модели двумерной неофициальной информации в которой покупатели различаются по
одному параметру, представляющему их индивидуальные оценки объекта («Готовность
платить») и ещё одним параметром представляющим их финансовые ограничения
(!Возможность заплатить»). Разделяя эти понятия, мы получаем два главных
преимущества. Во-первых, это позволяет нам учитывать ту роль, которую играет
«размер» участников торгов. В то время как существующая литература умалчивает
этот вопрос, фактически на аукционах есть много примеров, где финансовая сила
покупателя преобладает над их оценкой при выявлении победителя торгов, как
отмечено выше. Во-вторых это позволяет провести подробное изучение
эффективности проведения аукционов. В существующей литературе по симметричным
аукционам поштучной распродажи товара, эффективность не является предметом
рассуждений, т.к. товар всегда достаётся тому, кто предлагает за него
наибольшую цену.[11] Здесь, напротив
товар может не достаться тому, у кого самая высокая оценка, но вместо этого
может уйти к покупателю с более низкой оценкой, но с лучшими финансовыми
возможностями. Кроме того, степень, с которой финансовая сила участника торгов
воздействуют на его уравновешивающее предложение цены, зависит от того, какая
форма аукциона используется. Эта последняя особенность приводит к необходимости
строгого ранжирования стандартных аукционов. И как в случае ожидаемого дохода,
так и в случае ожидаемой прибыли.
В следующем разделе мы развиваем методику, которая позволяет нам сравнить
ожидаемый доход и общественную прибыль (активное сальдо) от аукционов вообще.
[12] В последующих разделах мы применяем эту методику к первичным и
вторичным аукционам. Когда бюджет составляет абсолютный предел расхода
первичные аукционы приводят к более высоким ожидаемым доходам и общественной
прибыли чем вторичные аукционы. Раздел четыре обобщает преимущества доходных
статей первичных аукционах в том случае, когда кредит имеется в распоряжении.
Раздел пять подводит итоги. Приложение содержит все доказательства которых нет
в тексте.
Относительно не большая работа была проведена по изучению воздействия финансовых
ограничений на аукционах. Maskin (1992) и Shicifcr и Vishny (1992) признали
возможность того, что товар может не достаться тому покупателю который назначил
за него самую высокую цену, если покупатели финансово ограниченны. Также
существуют другие работы включая Pitchik и Schotter (1988) и Pitchik (1994),
которые рассматривают многоступенчатые аукционы для двух товаров, фокусируя
внимание на ценовых тенденциях.[13] Ни
одна из этих работ не рассматривает двумерную частную информацию, которую мы
рассматриваем здесь.
2. ОБЩАЯ СТРУКТУРА
У продавца есть одна не делимая единица товара для продажи, которую он оценивает
за 0. Товаром может быть потребительский товар длительного использования,
предпринимательская собственность, или право на эксплуатацию природных
ресурсов. Пусть в торгах за этот товар принимают участие N≥2 которые
обладают нейтральным риском. Типичный покупатель оценивает этот товар v и он
терпит убытки, оценивающиеся C(x, w), если он платит х, а w представляет его
бюджет. Таким образом, если участник торгов получает объект и платит х, он
обладает полезностью v-C(x, w). Для каждого участника торгов v и w – это
частная информация. (w, v) составляют независимые и тождественно распределённые
пары для участников торгов с платностью f (•, •), что является положительным, и
обладающими свойствами отличительными особенностями на интервале [
, ]
[ ,
] где ( ,
)≥ (0, 0). (Заметим, что w и v могут быть коррелированными для
индивидуальных участников торгов) функция стоимости расходов C: [0,
∞)  [
, ] → [0,
∞] удовлетворяет следующим предположениям:
Предположение 1: Строго выполняется и (слабо) выпукла в х для х
≤ δ (w), δ(w) ≡ sup C(x, w) <.
Предположение 2: Для любого х и любого w х < δ(w), lim C(x,w')=C(x,w).
Предположение 3: для любого w, w’> w и х ≤ δ (w), 
для некоторого  где
С (х
,w) и С (х
,w) обозначают соответственно право - и лево – стороннее производные
относительно первого аргумента оценённого в (х,w).
Предположение 4: C(x,  ) = x для x , и C(x, w} = x для x  .
Предположение 1 означает, что крайняя стоимость расхода положительна и
возрастает, т.к. каждый тратит больше. Предположение 2 означает, что покупатели
с идентичными бюджетами сталкиваются с одинаковыми функциями стоимости. Первое
неравенство в предположении 3 подразумевает, что более высокое w снижает цену
для покупателя, чтобы увеличить его покупательную способность в заданном v.
Если C( •, w) дифференцируема условием и сводится к отрицательному значению
частной производной. Второе неравенство в третьем предположении подразумевает
непрерывность Липшица. Мы видели, что покупатель с w «действует добровольно
тратя х» если C(x, w) = x. Тогда предположение 4 подразумевает, что
покупатель с наибольшими финансовыми возможностями действует добровольно,
когда тратит до  и
нет таких покупателей, которые вынуждены были бы тратить чем самая низкая
возможная оценка.[14] Эти предположения
охватывают существенные особенности финансовых ограничений. Они выполняются, на
пример, когда функция стоимости принимает форму:
где R(0)=0, R(y) является не возрастающей , (слабо) выпуклой и непрерывна по
Липшицу для у > 0 и
. С этой функцией стоимости покупатель не сталкивается с затратами по
финансированию, когда расход меньше чем его бюджет, но он должен платить
проценты стоимостью R(y), когда занимает у. В частности если R(y)≡ry,
тогда покупатель сталкивается с необходимостью постоянных займов под проценты =
r. И если R(y)=∞ при у→0, тогда бюджет составляет абсолютный
предел расходов.
Наша главная цель сравнить работу первичных и вторичных аукционов. Однако
методика оценки дохода и социально активного сальдо применима к более
широкому классу форм аукционов. Более подробно рассмотрим семейство F
аукциона со следующими свойствами:
P1. Лицо, предлагающее самую высокую цену, получает товар
[15], и правила аукциона применяются идентично ко всем претендентам.
P2. существует симметрическая чистая стратегия равновесия Bayes-Nash, в
которой активный претендент с (w, v) делает предложение b=B(w, v) где B( •,
• ) непрерывно.
P3. Предложение равновесия B(w, v) увеличивается в (w, v) для активного типа
(w, v) и активно возрастает, если w и v увеличиваются.
P4. Для любого предложения равновесия существует добровольный тип с бюджетом
w, который делает то же самое предложение.
Эти свойства сравнения между формами аукциона. PI исключает случайное
распределение (кроме связей) и асимметричную обработку претендентов. P2
гарантирует, что равновесие для данного правила аукциона может быть
охарактеризовано семейством непрерывных кривых изобид в (w, u) пространстве.
Как будет показано, наш анализ социально активного сальдо включает сравнение
форм кривых изобид в зависимость от различных форм аукциона. P3 подразумевает,
что кривые изобиды имеют отрицательный наклон и не имеют никакого внутреннего
строения. Наконец, P4 гарантирует, что имеется добровольный тип на каждой
кривой изобиде. Это последнее свойство позволяет нам сосредотачиваться на таких
типах при вычислении ожидаемого дохода. Эти свойства подобны тем, которые
рассматривали Rilcy и (1981) Samuelson, но, учитывая нашу двумерную частную
информационную и общую функцию стоимости, P2-P4 очевидно не удовлетворительны.
Тем не менее, первичные и вторичные ценовые аукционы рассматриваются, чтобы
удовлетворить P1-P4 в абсолютном случае бюджета (Раздел 3). В общем окружении с
Предположениями 1-4, P2 все еще должно быть проверено для каждой формы
аукциона, но другие свойства удовлетворены в общих чертах.
[16]
A. Сравнение социального активного сальдо.
Мы сначала развиваем методику для сравнения социального активного сальдо двух
форм аукциона, которые удовлетворяют вышеупомянутым свойствам, т.е. мы
сосредотачиваемся на оценке побеждающего претендента как на мера социального
активного сальдо. Оценка победителя - правильная мера, если нет покупателей
которые несут финансовые затраты (как в Разделе 3),
[17] или если их затраты являются чистыми передачами кредиторам. Даже, когда
финансовые затраты включают некоторые напрасные траты, выбор покупателя,
который оценивает объект выше всех (или поставщик, который является наиболее
квалифицированным для работы) остается важным делом на правительственных
аукционах, например.
Пусть М. – произвольное правило аукциона и в F устанавливает равновесие. Правило
аукциона может включать резервную цену, которая ограничивает набор активных
претендентов. Пусть B
(•, •) обозначение функции предложения равновесия активного претендента, и пусть 
- самая низкая возможная оценка для активного претендента. (P3 и P4, (w,
]-типа покупатель представил бы минимум предложений равновесия.) Для активного
типа (w, v), пусть 
обозначают набор типов, которые либо не участвуют, либо предлагают меньше. Этот
набор соответствует области расположенной на и ниже кривой изобиды типа - (w,
v), на аукционе М. Также пусть 
и  . Рассмотрим
любые два аукциона, А и B, в F , и установим их связанное равновесие.
Определение. Аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству по
отношению к аукциону В, если, для любого типа (w, v) который активен на обоих
аукционах:
 и 
Единственное общее свойство выполняется точно если, в дополнение к этому,
одно из включений набора точно для положительной меры (w, v ).
Единственное общее свойство подразумевает, что кривые изобиды на аукционе А
ограничивают отрезок кривой изобиды на аукционе В снизу всего лишь однажды
(см. Фигуру 1). Следующая теорема показывает нам, что оценка товара
победителем немного выше на аукционе А чем на аукционе В, когда это свойство
сохраняется. Грубо говоря, единственное общее свойство означает, что кривая
из обиды в А более плоская, чем в В на отрезке (w, v). Следовательно, функции
предложения равновесия, более вероятны, чтобы отразить заказ оценок
покупателей в А чем в B. Ниже теорема доказана лишь формально, но интуиция
для проверки может быть ясно иллюстрирована Фигурой 1. Предположим, что
покупатель типа - (w, v) побеждает на аукционе B. Любой проигрывающий
претендент с более низкой оценкой должен тогда принадлежать заштрихованной
области. Исходя из единственного общего свойства, эта область находящаяся
ниже кривой изобиды проходящей отрезок (w, v) на аукционе A. Поэтому, любой
проигравший претендент с более низкой оценкой на аукционе B должен также
проиграть на аукционе A, что подразумевает, что оценка победителя может
только повышаться, т.к. мы перемещаемся от аукциона B на аукцион A.
Теорема 1. Если 
и Аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству по отношению к аукциону
В, то А принесёт более высокое социальное активное сальдо чем B (с вероятностью
один). Аукцион А точно принесёт более высокое социальное активное сальдо
нежели B, если единственное общее свойство строго выполняется.
Фигура 1.
Доказательство. Предположим, что претендент типа (w, v) - победитель на
аукционе B. Этот претендент должен также быть активен и на аукционе A, т.к. 
что создаётся единственным общим свойством. Тогда этого будет достаточно, чтобы
показать, что, с вероятностью 1, тип (w, v) не может проиграть претенденту с
на аукционе A, что тогда подразумевает, что победитель в А имеет более высокую
оценку чем победитель в В.[18]
Рассмотрим проигрывающего претендента в В с (w ', y '), v ' < v. По
определению . Если
он принимает участие, 
с вероятностью в единицу, так как кривая изобиды не имеет никакого интерьера,
P3. Если w' < w, то 
из-за строгой монотонности в P3. Та же самая оценка выполняется с вероятностью
равной единице, если 
, т.к.  из-за
единственного общего свойства. Таким образом, с вероятностью равной единице,
претендент типа - (w', v') не выигрывает.
Обратное может не выполнятся. То есть победитель на аукционе A, (скажем (w',
v') в Фигуре 1) может проиграть на аукционе В претенденту с более низкой
оценкой (скажем (w, v) Фигуре 1). Это происходит с положительной
вероятностью, если единственное общее свойство строго выполняется, что
доказывает второе утверждение.|
A. Сравнение Дохода
Ожидаемый доход от аукционов может также однозначно оцениваться во многих
случаях. Выберем произвольный аукцион М в F, и установим равновесие. Мы
сосредотачиваемся на активных претендентах с (
, v), для любого  .
Определим вероятность того, что произвольно выбранный претендент либо не
участвует, либо предлагает ниже, чем претендент типа - (
, v):
 ,
где  по Р2 и Р3,  непрерывно и строго возрастает с 
Так как это единственное предложение, которое определяет ожидаемую оплату, все
типы на данной кривой изобида, создают ту же самую ожидаемую оплату. Кроме
того, для любого предложения, там существует тип с бюджетом 
, который делает то же самое предложение из-за P4. Поэтому, мы можем выражать
ожидаемый доход продавца, в прелах платежей от типов с бюджетом 
. Определенно, мы вычисляем ожидаемый доход, объединяя платежи этих типов по
связанным кривым изобидам. Пусть 
, будет ожидаемая оплата которую претендент типа - (w, v) делает в равновесии, и
пусть . Тогда,
ожидаемый доход от аукциона М будет:
 (1)
Теперь вычислим 
Предположим, что все другие претенденты используют B
(•, •). Тогда, претендент типа - (
, v) выбирает (то есть, подражает стратегии типа) 
, чтобы увеличить до предела своё чистое активное сальдо.
 (2)
Заметим, что ожидаемая стоимость его оплаты равна ожидаемой оплате, так как
претендент не стеснён.[19] В равновесии,
подражая этой стратегии другой тип не может оплатить, поэтому 
. Пусть  , обозначает
заключительное равновесие ожидаемой выгоды для претендента. Так как претендент
с ( ,
) должен быть безразличен к участию, 
. Для  , Теорема
огибающей и интегрирование дают нам:
 (3)
Объединение (2) и (3) дают нам ожидаемую оплату типа ( , v):
(4)
Заменяя (4) в (1) и интегрируя по частям, получим ожидаемый доход продавца
(5)
где - функция
распределения второго порядка, статистических данных из N случайных переменных,
полученных независимо от 
. Это выражение для ожидаемого дохода напоминает стандартный случая без
финансовых ограничений (см., например, Milgrom (1989)). Фактически, ожидаемый
доход - точно тот же самый как в гипотетической модели, где претенденты не
стеснены, но их оценки получены от функции распределения 
. Важным различием, конечно, является то, что 
эндогенно определена выбранной здесь стратегией равновесия, вот почему
неуравновесие может возникать в присутствии финансовых ограничений. Когда
различные формы аукциона стимулируют различные стратегии предложения цены, то,
оценки претендентов как бы получены от различных функций распределения в
гипотетической модели. Следующий результат естественно, вытекает из этого.
Теорема 2. Если 
и  для всех 
, то аукцион А приносит ожидаемый доход лишь немного выше, чем аукцион B. Оценка
точна, если там существует интервал из v на которой
.
Доказательство. Т.к. доминирует над ,
Эти два равенства следуют из (5), и неравенство следует т.к. 
для всех  .
[20] Очевидно, 
для интервала v. ||
Т.к. более плоские кривые изобиды, указывают, что претенденты меньше
затруднены финансовыми ограничениями, можно было бы ожидать, что конкуренция
будет более жестокой, когда кривые изобиды более плоские. Это предположение
подтверждено ниже.
Заключение. Если аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству
относительно аукциона B, тогда А приносит ожидаемый доход слегка выше, чем B.
Оценка точна, если единственное общее свойство строго выполняется.
Доказательство. По определению, единственное общее свойство подразумевает 
для любого активного типа (
, v), который подразумевает что 
. Таким образом, результат следует из Теоремы 2. Точная оценка аналогично.
||
3. АУКЦИОНЫ С ВЫНУЖДЕННЫМИ БЮДЖЕТОМ ПРЕТЕНДЕНТАМИ
В следующих двух разделах, мы используем результаты предшествующего раздела,
чтобы сравнить первичные и вторичные аукционы. В первом аукционе, лицо,
предлагающее самую высокую цену выигрывает и оплачивает свое предложение; на
последнем, лицо, предлагающее самую высокую цену выигрывает и платит второе –
самое высокое предложение вторичной цены (или резервную цену, если никакой
другой претендент не вступает в торги). Первичные аукционы часто
используются, чтобы продать правительственные права, типа прав на добычу
полезных ископаемых, и чтобы заключать контракты по закупке для Американского
Департамента Обороны и Департамента транспорта, например. Вторичные аукционы
используются в форме стратегического эквивалента - открытые устные аукционы,
чтобы продать права на заготовку древесины.
В этом разделе, мы сосредоточимся на претендентах, которые стоят перед
абсолютными ограничениями на то, что они могут потратить. (Мы рассмотрим
более общий случай в следующем разделе.) Определенно, претендент типа – (w,
v) терпит убытки стоимостью
Когда он тратит x. Полезно исследовать этот специальный случай, так как здесь мы
можем характеризовать равновесие и показывать его существование в каждой форме
аукциона. Кроме того, возможно сравнение и доход и социального активного
сальдо. Мы предполагаем, что 
, что является достаточным для того чтобы Предположения 1-4, выполнялись. Второе
неравенство делает присутствующее ограничение бюджета значительным.
Прежде чем продолжать дальше мы должны рассмотреть возможность, что покупатель
предлагает больше чем его бюджет и затем меняет своё предложение. Мы
предполагаем, что продавец не продаст объект покупателю, который меняет своё
предложение, и что он также налагает на него небольшой штраф.
[21] На первичном аукционе, победитель оплачивает своё предложение, поэтому
предложить больше чем его бюджет не будет оптимальным, учитывая такую ответную
реакцию продавца. Если предложение выигрывает, штраф делает чистое активное
сальдо покупателя отрицательным, в то время как не имеется никакой выгоды, если
предложение не побеждает. Теперь рассмотрим вторичный аукцион, и предположим,
что претендент побеждает с предложением превышающим его бюджет. Или претендент
победил бы так или иначе с той же самой оценкой (то есть вторторичное - самое
высокое предложение - ниже бюджета победителя) или он побеждает с оценкой выше
его бюджета, что приводит к отрицательному активному сальдо. Еще раз, это -
доминирующая стратегия предлагать выше своего бюджета.
A. Вторичные аукционы
Пусть резервная цена 
. Тогда, только покупатели с минимумом 
будут участвовать. Мы показываем, что доминирующая стратегия для участвующего
покупателя, это предложить минимум
. Если, то ограничение бюджета не стесняется, так что доминирующая стратегия -
предложить  , следуя
Vickrey (1961). Если 
, тогда тот же самый аргумент подразумевает, что предложение цены 
, доминирует над предложением цены менее строго, т.к. с предложения цены выше
бюджета, также доминируют, доминирующая стратегия состоит в том, чтобы
предложить свой бюджет в этом случае. Графически, стратегия представлена
семейством кривых изобид Леонтьева с петлями на линии 45 градусов (смотри
типичную кривую изобиды на Фигуре 3). Предлагающая цену стратегия ясно
удовлетворяет P1-P4.
Рассмотрим претендента с (
, v),  . Набор типов,
которые не участвуют или которые предлагают более низкую цену:
Пусть G (w, v) обозначает вероятность того что w ' < w или v ' < v
Произвольно выбранный покупатель находится в  с вероятностью  .
B. Первичные аукционы
Пусть  - резервная
цена. Покупатель i участвует тогда и только тогда когда минимум 
. Мы рассматриваем функции предложения равновесия формы 
для некоторой непрерывной, строго возрастающей функции
. (Позже мы покажем, что любое симметрическое равновесие должно выбрать эту
форму, данную условием средней непрерывности). Стратегия предложения цены снова
приводит к кривым изобидам Леонтьева, с добровольными претендентами,
принимающими стратегию 
(см. Фигуру 3). Теперь мы охарактеризуем 
.
Рассмотрим претендента с (
, v), для любого  ,
т.к.  , такой
претендент должен быть добровольным. В равновесии, набор типов, которые не
участвуют или которые предлагают более низкую цену предложения, чем претендент
типа - ( , v)
Произвольно выбранный покупатель находится в этом наборе с вероятностью 
Проблема, стоящая перед претендентом с (
, v) такая же самая, как если бы все претенденты были добровольны, с оценками,
взятыми из распределения 
. Стандартный результат без ограничений бюджета (например, Riley и Samuelson
(1981)) тогда подразумевает, что симметрическая функция предложения равновесия
должна удовлетворить условию:
 для  . (6)
В существование  нет
необходимости, однако, т.к. 
зависит от 
непосредственно. Следующее техническое предположение гарантирует существование
единственной функции предложения равновесия.
Предположение 5. (N- l) w + (G (w, v)) / (
(w, v)) строго увеличивается в w для всех 
.[22]
Лемма 1. Согласно Предположению 5, существует единственное,
симметрическое равновесие, в котором претенденты с минимумом 
используют функцию предложения 
, где  удовлетворяет
(6), и является непрерывной и строго возрастающей.
Согласно Лемме 1, P1-P4 удовлетворены. Чтобы устанавливать идеи относительно
этой стратегии предложения цены, предположим, что есть два покупателя, каждый
из которых имеет (w, v) взятых однородно на [0, 1] 
, и не принимают никакой резервной цены. Тогда, стратегия равновесия
добровольного типа предлагающего цену, определяется решением дифференциального
уравнение
в  . Его
числовое решение графически изображено на Фигуре 2а Ла (см. кривую внизу),
вместе с поверхностью, соответствующей равновесному предложению цены Фигуре 2b.
Для сравнения, Фигура 2а также отображает стратегию, предлагающую равновесие,
когда оценка претендента выбрана однородно на [ 0, 1 ], но ни один претендент
не стоит перед обязательным ограничением 
. Очевидно, присутствие ограничений бюджета делает даже добровольных покупателей
менее агрессивными.
C. Доход и социальное активное сальдо
Наши результаты из раздела 2 могут быть использованы, чтобы оценить действия
альтернативных аукционов. Уравнение (6) подразумевает что 
для всех  .
Это гарантирует, что первичный аукцион удовлетворяет точному единственному
общему свойству относительно вторичного аукциона (см. Фигуру 3). Следующая
оценка осуществляется непосредственно.
Суждение 1. Учитывая вторичный аукцион с резервной ценой 
, первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокое
социальное активное сальдо, строго выше ожидаемого социального активного сальдо
и строго выше ожидаемого дохода.
Фигура 2а
Фигура 2b
Доказательство. Резервная цена 
влечет за собой  в
первичном аукционе. Так как 
для  , первичный
аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно
вторичного аукциона. Таким образом, результаты следуют из Теоремы 1 и
Заключения. ||
Страницы: 1, 2
|
|
|
|
|
