Полный курс лекций по математике

Полный курс лекций по математике

МАТЕМАТИКА

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления

математики.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида –

образец научного метода. История создания неевклидовой геометрии.

Тема 3. История развития науки о числе . Комплексные числа и действия с

ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на

плоскости.

Тема 5. Кривые второго порядка.

Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы

вычисления определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений

по формулам Крамера.

Тема 7. Матрицы. Алгебра матриц.

Тема 8. Понятие множества. Пересечение множеств, объединение множеств,

множества на числовой прямой.

Тема 9. Математический анализ. Функция. Классификация функций.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах функций. Замечательные пределы.

Понятие о непрерывности функции.

Тема 11. Производная и дифференциал.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства

неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Тема 14. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными

пределами интегрирования. Несобственные интегралы от разрывных функций.

Тесты.

Литература

Базовая учебная литература к курсу:

1.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.:

Наука, 1975г.

2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.:Наука, 1975г

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления

математики.

Целью изучения математики является – повышение общего кругозора,

культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных

формах действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

зарождение математики, элементарная математика, математика переменных

величин, современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей

эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал.

Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней

Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с

достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для

удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается

арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел,

выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное

исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся

решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной

геометрии – геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге

«Начала» (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию

методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения

величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных

величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и

интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие

«бесконечно малой величины», создание основ анализа бесконечно малых

(математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится

основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям

математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта –

метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет

изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны

метод координат открыл возможность геометрической интерпретации

алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке

задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных

форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы.

Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате

запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности

математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая

геометрия» Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках

позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой

математики, «математизация» различных областей науки, проникновение

математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс

вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин,

например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и

другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод.

В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые

аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические

следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются

математические доказательства – строгие логические рассуждения.

Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для

правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения

необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же

математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга

реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может

описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для

математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между

ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не

основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок

следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-

технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики

в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма

четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее

общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без

современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом

был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных

задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида

– образец аксиоматического построения научной теории. История создания

неевклидовой геометрии.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки

является одним из величайших достижений математической мысли. Оно

потребовало работы многих поколений ученых.

Основные черты дедуктивного метода.

Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота

этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Дедуктивная система изложения сводится:

1) к перечислению основных понятий,

2) к изложению определений,

3) к изложению аксиом,

4) к изложению теорем,

5) к доказательству этих теорем.

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть

рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает

логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) О

смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти

вопросы вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность

аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно

высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического

материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения,

которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является

элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом

(около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде –

«Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость – основные образы; лежать

между, принадлежать, движение – основные отношения.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп.

В пятой группе одна аксиома – аксиома о параллельных (V постулат Евклида).

Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую

данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность

доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более

2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента,

когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную

безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого

постулата является строго доказанным математическим фактом.

Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в

данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку

можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической

строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание

неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как

логические системы равноправны.

Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг

от друга пришли к одним результатам – недоказуемости пятого постулата и к

созданию неевклидовой геометрии.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Янош Бойяй (1802-1860)

Судьба открытия Лобачевского.

В 2004 г. Казанский Государственный Университет будет отмечать 200

летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно

связано с Казанским Университетом и составляет его гордость.

Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807

году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил

его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-

математическому факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои

идеи, которые излагал в трудах «Начала геометрии», «Воображаемая геометрия»

и других. За год до смерти он опубликовал свою работу «Пангеометрия»

(1855г.).

Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как

профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее – ректор Университета,

при нем развернулось строительство Университетского прекрасного

архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись

признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными

математиками того времени. Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое

время, но все развитие науки подготовило их неизбежное торжество. Через

пятнадцать лет после его смерти его открытие стало общеизвестным и

определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало

сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из

предпосылок глубокого преобразования физических представлений о

пространстве и времени.

Тема 3. История развития науки о числе.

Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности

используемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне

довольствовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им

несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической алгеброй для

описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на

пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел – натуральное

множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа,

отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые

числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е.

числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной

дробью, такие как ? , [pic], [pic] и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в

рассмотрение «мнимое число» [pic].

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам

по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy

для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i =[pic], iІ = –1, х и у – вещественные числа

Само число z = x + i y называется комплексным, а i =[pic], мнимой

единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.

«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в

1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат.

Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике,

технике.

Пример. Найти корни уравнения хІ+x+1=0.

1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения

х[pic] = (-1+[pic])/2 = (-1+i[pic])/2;

х[pic] = (-1-[pic])/2 = (-1-i[pic])/2;

Это уравнение имеет комплексные корни, где i =[pic].

Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez -

называется вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой

частного числа, х и у - вещественные числа.

Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3

мнимая часть числа.

2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 -

мнимая часть числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его

вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.

(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только

тогда», необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число,

т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно

равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z[pic] = х[pic]+iy[pic],

z[pic] = х[pic]+iy[pic], z[pic] = z[pic] если х[pic] = х[pic] и y[pic]=

y[pic].

4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е. из двух

комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя

комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.

Например, z[pic] = 10+15i, z[pic] = 2-100i. Нельзя сказать которое из

двух чисел больше.

Определение. Числа z = x + i y и [pic] = x - i y называются комплексно

сопряженными.

Например, z = -2 + 3i, [pic] = -2 - 3i

z = 1 – i, [pic] = 1 + i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на

друга, то мы получим новое комплексное число.

Пример 1. Дано z[pic] = -1 + 2i, z[pic] = 3 - 5i. Найти z[pic] +

z[pic]. Решение z[pic] + z[pic]= -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е.

складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 2 Дано z[pic] = 2 + 3i, z[pic] = -1 + i. Найти z[pic] - z[pic].

Решение z[pic] - z[pic]= 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е.

складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 3 Дано z[pic] = -1 + 2i, z[pic] = 3 - 5i. Найти z[pic]* z[pic].

Решение, z[pic]* z[pic]= (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 iІ = - 3

+10 +11 i = 7+ 11 i, надо помнить, что iІ = - 1.

Пример 4 Дано z = 2 - i, , [pic] = 2 + i. Найти z * [pic].

Решение z * [pic] = (2 – i ) *(2+ i ) = 2І - iІ = 4+1 = 5, где iІ =

-1. Произведение комплексно сопряженных чисел есть вещественное число

равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей.

Например, 1) z = 1 + i, [pic] = 1 – i, z * [pic]=1І + 1І=2

2) z = 3 + 5i, [pic] = 3 - 5i, , z * [pic]=9 +

25=34

Пример 5 Дано z[pic] = -1 + i, z[pic] = 2 - 3i. Найти z = (1 + i)/(2 -

3i). Решение z = (1 + i)/(2 - 3i) = (1+ i)(2 +3i) / (2 – 3i)(2+3i) = (2 +2i

+3i +3iІ)/ (4+9) = (2 – 3 + 5i)/13 =

= -1/3 + (5/13)i. Чтобы выделить вещественную и мнимую часть числа z надо

числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Произвести действие, выделить вещественную и мнимую части числа

(2 + i)/(1 + 2i).

Решение. (2 + i)/(1 + 2i) = (2+ i)(1 -2i) / (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 +i -

4i - 2iІ)/ (1 +4) = (2 + 2 - 3i)/5 = (4 - 3i)/5= 4/5 - (3/5)i.

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy.

Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс

отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть

числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у )

0

Рис.1

Ось ох называется вещественной осью

Ось оу называется мнимой осью.

Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.

Пример. Построить числа z[pic] =1+ i; z[pic] =2 i, z[pic] = -2+3 i;

z[pic] = -1/2 i, z[pic] =1 - i, z[pic] =-1-2 i Рис2.

Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на

плоскости.

Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением

геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической

геометрии проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами

и, таким образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о

числах. Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта

(1596-1650) и Пьера Ферма (1601-1665).

Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается так:

выбираются две взаимоперпендикулярные прямые с выбранным положительным

направлением на каждой прямой - оси координат, точка пересечения прямых –

начало координат. Выбирается на осях координат единица масштаба.

Рис 1

Ось ох – ось абцисс.

Ось оу – ось ординат

О – точка пересечения осей, начало координат.

Положение всякой точки плоскости определяется ее расстоянием от осей

координат. Эти расстояния называются координатами точки. Например, точка М

имеет координаты х и у – М(х,у). Рис 1.

х – абцисса точки М, у – ордината точки М.

Координатам приписывают знаки, зависящие от расположения точки в

различных частях координатной системы.

Пример. Построить точки: А(3,2); В(-1,4); С(-2,0); Д(-1,-1/2); Е(1,-

1).

Рис 2.

0

Расстояние между двумя точками на плоскости М1(х1,у1) и М2(х2,у2)

определяется по формуле М1М2 = [pic](х2-х1)2+(у2-у1)2.

Например, найти АВ, если А (1,2); В (-2,-2). Используя формулу, получим

АВ=корень [pic]=[pic]=[pic]=[pic]=5.

Соотношение, характеризующее зависимость между координатами х и у точек

кривой называется уравнением этой кривой. Например: у+2х-1=0 – уравнение

прямой, х2+у2=4 – уравнение окружности.

Координаты любой точки, лежащей на кривой, удовлетворяют уравнению кривой,

а координаты точек, на кривой не лежащей, уравнению не удовлетворяют.

Например, проверим лежит ли точка А (1,2) и В (0,1) на прямой у+2х-1=0. Для

этого подставим координаты каждой точки в уравнение прямой.

1) А(1,2)-2+2-1[pic]0, вывод: точка А не принадлежит прямой.

2) В(0,1)-1-1=0, вывод: точка В лежит на прямой.

Любое уравнение первой степени относительно переменных х и у, называется

линейным, оно есть уравнение прямой линии.

Ах+Ву+С=0, где А, В, С – вещественные числа, есть общее уравнение прямой.

Например, х+у-1=0, у=2х, х=3, у= -1. Эти уравнения – есть уравнения прямых.

Построим эти прямые на плоскости Рис 3. Положение любой прямой определяется

двумя точками. Найдем точки пересечения прямой х+у-1=0 с осями координат.

|Х |0 |1 |

|У |1 |0 |

А(0,1); В(1,0). Через эти точки проводим прямую.

У=2х – прямая проходит через начало координат, т.к. координаты начала

О(0,0) удовлетворяют уравнению прямой, подберем точку С(1,2) – лежащую на

прямой, проведем прямую через точки О и С. Рис 4.

0

Прямая х=3 параллельна оси оу, прямая у=-1 параллельна оси ох. Рис 5.

0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

у=Кх+в, К=tg ? – коэффициент, ? – угол, который прямая составляет с осью

абцисс, в - отрезок, который прямая отсекает от оси ординат. Рис 6.

Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Например,

у=2х+3, у=2х - 5 эти две прямые параллельны, т.к. К1=2; К2=2; К1=К2.

Если две прямые перпендикулярны, то К2= -1/К1. Например, у=2х+3, у= -(1/2)х

- 1. Эти прямые перпендикулярны, т.к. К1=2, К2=-1/2; К2= -1/К1.

Пример. Указать какие из следующих пар прямых параллельны, а какие

перпендикулярны.

|1)3х - у+7=0 |2) 3х - у+5=0 |3)3х - 4у+1=0 |

|6х - 2у-1=0 |х+3у - 1=0 |4х + 3у+7=0 |

Решение. 1) Найдем условные коэффициенты обеих прямых, для этого каждое

уравнение разрешим относительно у.

у=3х+7, у=3х - 1/2. Эти прямые параллельны, т.к. К1=К2=3

2) Разрешим каждое уравнение относительно у

У=3х+5, у= -1/3х+1/3, К1=3, К2= -1/3, т.к. К2=-1/К1, то мы можем сказать,

что эти две прямые перпендикулярны.

3) Разрешим каждое уравнение относительно у

у = 3/4х+1/4, у = - 4/3х +х/3; К1 = 3/4, К2 = 4/3

Эти прямые не являются параллельными, т.к. К1?К2, эти прямые являются

перпендикулярными, т.к. К2= -1/К1

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

у - у0=К (х - х0) – уравнение прямой, проходящей через данную точку М0

(х0,у0), в данном направлении, т.е. К известен.

Задача. Через точку М0(1,-2) провести прямую ? параллельную прямой у = 2х -

1

Решение. Уравнение прямой ? запишем в виде у-у0=К(х-х0). Х0 и у0 – нам

даны, это х0=1, у0=-2, К – угловой коэффициент найдем из условия

параллельности двух прямых К=2. у+2=2(х - 1) – искомое уравнение или 2х – у

- 4=0

Тема 5. Кривые второго порядка.

К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах2 +

Вху + Су2 + Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов

(вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола,

парабола. Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые

суть сечения прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма

расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина

постоянная 2а, большая F1F2. Каноническое уравнение (простейшее) уравнение

эллипса: х2/а2 + у2/в2 =1

Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей

координат (рис 1)

М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой

точки. Все точки эллипса удовлетворяют условию: F1M + F2M=2a.

а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая

полуось. F1 и F2 – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С=

[pic]2 – в2) от центра О. Отношение с/а = Е называется эксцентриситетом

эллипса.

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти

координаты фокусов; 3)Найти Е.

Ответ: 1) х2/16 + у2/9=1; 2) С= [pic]= [pic], F1 (- [pic], 0); F2 (

[pic], 0); 3)Е = с/а = [pic]/4 < 1.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность

расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть

постоянная величина 2а (0<2a<F1, F2).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Х2 /а2 – у2/в2 = 1

Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат

(Рис 2). Она пересекает ось ох в точках А1( -а, 0) и А2(+а, 0) – вершинах

гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной

полуосью, в – мнимой полуосью, С=[pic](а2 +в2) - расстояние от фокуса до

центра симметрии О. Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые у= ±в/а х называются асимптотами гиперболы.

Рис.2

0

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты

произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

|F1M-F2M|=2a.

Пример 2. Дана гипербола хІ-4уІ=16. 1)Написать каноническое уравнение

гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты

гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)хІ/16 - уІ/4 = 1; 2) а=[pic] = 4; в=[pic] = 2. 3) у = ±(в/а) х или

у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= [pic](аІ + вІ) = [pic]= [pic]= 2[pic],

Е=с/а=(2[pic])/4 = ([pic])/2 ;

Е=([pic])/2 >1.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково

удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) уІ= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)

2) хІ= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

РИС.3

0

РИС.4

М (х,у) – произвольная точка парабола,

(х,у) – текущие координаты произвольной точки,

х = -р/2 – уравнение директрисы.

FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.

В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале

координат 0.

Парабола уІ = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2

Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2

Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:

1) уІ = 4х; 2) уІ = -4х; 3) хІ =4у; 4) хІ =-4у; а так же их фокусы и

директрисы и написать уравнения директрис.

Ответ:

1)

0

0

yІ = 4x, p=2, F(1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

3)

0

Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1)

У = -1 – уравнение директрисы.

Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R;

(рис.6)

Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1,

2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?

Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение

примет вид:

х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0

2)

-1

2) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не

удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ? 0.

Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы

вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по

формулам Крамера.

Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом

[pic] и определяемое равенством [pic] = а11а22-а12а21.

Например, Вычислить определитель [pic] = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26

Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель

второго порядка имеет две строки и два столбца.

Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом [pic]

и определяемое равенством [pic] = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 –

(а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).

Например, [pic] = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) =

-12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10

Перечислим свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.

2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух

любых строк или столбцов.

3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца

одинаковы.

4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки

(столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца),

умноженные на произвольное число.

Например, [pic] = [pic]

Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного

путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на

пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка

на единицу ниже исходного.

Например, в определителе, [pic] Минором к элементу 4 является М13= [pic]= =

10+2=12.

Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij , умноженный на (-1)i+j, т.е.

Аij = (-1)i+j Mij

В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 * [pic] = 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.

6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки

(столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.

Например, [pic] = а11*А11 +а12*А12+а13*А13; правая часть равенства

называется разложением определителя по элементам первой строки.

7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к

элементам другой строки равна нулю.

Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0.

Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого

порядка.

Пример. Вычислить определитель [pic] двумя способами.

первый способ. [pic] = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 +

+(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. [pic] =

-3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2 [pic] + 5(-1)2+2 [pic] +(-1)3+2 [pic] =

-3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам

Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1

а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2

а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные

числа аij (i = [pic], j = [pic]) называются коэффициентами системы. в1, в2,

в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от

нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю,

то система имеет вид:

а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0

а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0

а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы ? называется определитель, составленный из

коэффициентов системы:

? = [pic]

Если определитель системы ? не равен 0, то система имеет единственное

решение, которое находится по формулам:

Х1 = ?х1/ ?; х2== ?х2/ ?; х3== ?х3/ ?; где

?х1= [pic] ; ?х2= [pic]; ?х3= [pic].

Если определитель системы = ? равен нулю, и хотя бы один из определителей

?х1=?х2=?х3 отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ?=0, и ?х1=?х2=?х3=0, то система имеет

бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

1) Вычислим определитель системы ? = [pic] = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) –

(1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ? = 30 ? 0.

2) Вычислим определители ?х, ?у, ?z.

?х = [pic] = 5; ?у = [pic] = 13; ?z = [pic] = 1.

3) По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ?х/? = 5/30 = 1/6; у = ?у/? = 13/30; z = ?z/? = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n

неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1) Составим и вычислим определитель системы ?= [pic] = 0.

2) Вычислим определители ?х, ?у, ?z.

?х =[pic] = 0, ?у = [pic] = -2

Т.к. определитель ?у= -2 ? 0, мы делаем заключение: Система несовместна,

т.е. она не имеет решения.

Тема 7. Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей

размерности m*n,

а11 а12 а13…а1п

а21 а22 а23…а2п

……………… = Ам*п= //аij//

ам1 ам2 ам3…амп , где

m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами

матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит

элемент.

Разновидности матриц.

1. Матрица называется прямоугольной, если m?n.

2. Матрица называется квадратной, если m=n.

3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.

4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1 2 3 = А2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два

на три)

0 –1 5

2) 1 2 - квадратная матрица.

3 4

3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.

4) 7

12 матрица столбец.

5

3

5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц,

расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Например, 1 0 0 5 1 –3

2 6 0 или 0 4 2

-1 –2 8 0 0 -1

6) Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме

элементов главной диагонали, равны нулю.

Например, 1 0 0

0 –2 0

0. 0 5

7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной

матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е = 0 1 0

0 0 1 .

Алгебра матриц.

1. Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны,

если равны соответствующие элементы этих матриц.

Ам*п = Вм*п ( аij = bij (i = [pic], j = [pic])

( этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только

тогда»,

обозначение (i = [pic]) применяется, если хотят сказать, что i пробегает

все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij//

называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n +

Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5

3 1 –6 , 1

–6 4 , то

А+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5

-2 0 9

3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6

6+4 4 –5 –2

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число

надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

?А = //? aij//.

Например, вычеслить 4 А, если А =

4А = 4 *

4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется

матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу

«Строка на столбец»:

сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej

(i= [pic]; j= [pic]) , т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки

левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца

правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет

смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк

второго сомножителя.

Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ?ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А = В =

Решение: АВ=С

С= * =

=

|С11=1*3+2*2=7; |С12=1*4+2*(-1)=2 |С13=1*1+2*(-2)= -3 |С14=1*3+2*4=11 |

|С21=2*3+4*2=14; |С22=2*4+4*(-1)=4 |С23=2*1+4*(-2)= -6 |С24=2*3+4*4=22 |

|С31=3*3+1*2=11 |С32=3*4+1(-1)=11 |С33=3*1+1*(-2)=1 |С34=3*3+1*4=13 |

Ответ: А*В=С=

Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,

В = 2 1

3 4

1 3

Сравним эти произведения.

1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7

3 4 1 3 10 15

С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;

С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15

2) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8

1 3 3 4 10 14

d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8

d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ?ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=[pic] [pic]

Решение: АВ=(4 0 -2 1)*[pic] [pic] =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается

матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то

новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и

обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и

обозначается символом Ш. А+Ш=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (? +?)А = ?А+?А; ?(А+В) = ?А + ?В;

(А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (?А)В=?(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в

приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют

записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой,

а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов.

Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом

предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

1 3 4 ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15).

На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую

смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)

1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через

более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых

объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или

точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа,

множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными.

Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не

является элементом множества А, то пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и

обозначается Ш. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0

есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает

с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество

студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А,

т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же

элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из

всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d,

е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех

элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А?В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А?В = {2, 3}. 2) если

А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А?В = Ш.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех

элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти

объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

А?В = {6, 8}

А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа

элементов, в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются

числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество

действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых

чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками

числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано

начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует

взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу

соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке

прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в,

называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х

удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам

а ? х < в или а< х ? в, называется полусегментами соответственно [а, в) и

(а, в].

Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само

число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х –

отрицательно:

/х/=

По определению /х/ ? 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.

Свойства абсолютных величин:

1. |х+у| ? |х|+|у|, 2. |х-у| ? |х|

- |у|,

3. |ху| = |х|*|у|, 4. |х/у| =

|х|/|у|

Из определения абсолютной величины числа следует: -|х|? х ? |х|. Пусть |х|<

?, можно написать: -?< -|х|? х ?|х|<?, или -?<х<?, т.е. значения х лежат на

открытом интервале (-?, ?).

Рассмотрим неравенства |х-а|<? (где ?>0). Решениями этого неравенства будут

точки открытого интервала (а – ?, а+?), или а - ?<х<а+?.

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.

Интервал (а – ?, а+?), т.е. множество точек х таких, что |х-а|<? (где ?>0),

называется ? – окрестностью точки а. Рис.2 (? – эсилон, буква греческого

алфавита).

Рис.2

а – ? а а+?

Страницы: 1, 2