Полный курс лекций по математике :: БЕСПЛАТНЫЕ РЕФЕРАТЫ



РУБРИКИ	Полный курс лекций по математике	РЕКЛАМА

Главная

Логика

Логистика

Международное публичное право

Международное частное право

Международные отношения

Авиация и космонавтика

Административное право

Экономико-мат. моделирование

Экономическая география

ПОИСК

Полный курс лекций по математике

Тема 9. Функция. Классификация функций.

Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть

любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому

закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у

множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = f(х), (или

отображение множества Х во множество У).

Множество Х называется областью определения функции f, а элементы у = f(х)

образуют множество значений функции – У.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

f – закон соответствия, знак функции.

Пусть Х и У множества вещественных чисел.

Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1

Областью определения функции является множество Х = (-?, ?), область

значений является множество У = [0, ?).

Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью

определения является объединение таких множеств: (-?, 2) U (2, 3) U (3, ?).

Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ?) – область

определения функции.

Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в

точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | -

1| / 1= 1;

f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область

определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается

в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 =

3а4 – 5а2 + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.

Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все

функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей,

содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица

логарифмов.

в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество

точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а

ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).

Например, у = х2 (Рис.1); у = [pic] (Рис.2)

0 х

Рис. 1.

Рис. 2.

Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления,

например, функция Дирихле:

1, если х – рациональное число.

f(х) =

0, если х – иррациональное число.

Основные элементарные функции.

Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные.

Перечислим их:

1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются

степенными.

2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ? 1.

3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ? 1

4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.

5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у =

arctg х,

у = arcctg х.

Сложная функция. (суперпозиция функций).

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на

множестве U с областью значений – У, а переменная u = ?(х) функция от

переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда

заданная на множестве Х функция у = f(?(x)) называется сложной функцией

(функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х

можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных

функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются

элементарными.

Например, у = [pic])/(sin2х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график

представлен на рис. 3.

Рис.3

Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.

1 класс алгебраических функций:

а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п –

степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, … , Ап –

вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно –

рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у = [pic] + х2.

2 класс трансценденных функций.

а) у = ах, а > 0, а ?1, показательная функция,

б) у = logах, а> 0, а ?1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = х?.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Понятие о непрерывности функции.

Определение. ? – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-?,

а+?) (? – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ?.

Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой

точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для

любого сколь угодно малого, наперед заданного ?>0 существует такое ?>0, что

для всех х таких, что |х-а|<? выполняется неравенство |f(x) - b|<?.

В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.

(lim – сокращенное слово limit(предел)).

Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.

При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно

может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.

f(a) y= f(x)

y = f (x)

0 a x

а х

Рис.1

Рис.2

f(a)

0 a x

Рис.3

Рис.4

На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2)

значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a)

= b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел

в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) =

f(a).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

lim (f(x) + ?(x)) = lim f(x) + lim ?(x)

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

lim [f(x) * ?(x)] = lim f(x) * lim ?(x)

3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел

функции.

lim С*f(x) = С *lim f(x)

Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак

предела.

4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций.

(Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).

lim f(x) / ?(x) = lim f(x) / lim ?(x), lim?(х)?0.

Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что

отношение стремиться к бесконечности.

Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных

чисел R в качестве нового элемента ?. После этого числовая прямая

превращается в так называемую расширенную прямую.

Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем

арифметические операции с этим элементом ?.

Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда

|а + ? = ? |-? + а = -? |? * (-а) = - ?, а › 0 |

|? - а = ? |-? - а = - ? |? * ? = ? |

|а * ? = ?, а ? 0 | ? + ? = ? |а/? = 0, ?/а = ? |

| |- ? - ? = - ? | |

Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя

найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.

Такие случаи называются неопределенностями.

Выделяют неопределенности двух типов:

Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).

Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00.

Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой

только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу,

бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие

неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

Пример 1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].

Решение:

1) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х2 – 4) / (x2+x –

2)] =

= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на

простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х2 – 4)

/ (x2+x – 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) =

-4/ -3= 4/3/

Пример 2. lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]

Решение:

lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту

неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в

старшей степени, т.е. х2, получим: lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = lim [(х2

(1 – 4/х2) / (x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х2 = 4 / 00 = 0, .

lim 1/х =

1/00=0 и . lim 2/х2 = 2/00

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы

преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые

замечательные пределы.

Первый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает

неопределенность (0/0).

Второй замечательный предел. . lim (1+1/х)х = ?, где ?=2, 7, …

иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание

логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log?x = lnx и называется

натуральным логарифмом.

Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).

Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3

Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).

Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) *

2x)]

= 5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2

Пример. 5 Найти lim (1+(1/2x))x = 100.

Решение: lim (1+(1/2x))2x * (1/2) = ?1/2=[pic]?

Пример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))x = 100.

Решение: lim [1+(1/(x-1))]x -1+1 = lim [(1+(1/(x-1)))x -1 * (1+(1/(x-

1)))1] = ?*1 = ?

Тема 11. Производная и дифференциал.

Приращение аргумента, приращение функции.

Пусть функция у= f(х) определена в точке х0 и некоторой ее окрестности,

придадим точке х0 приращение ?х и получим точку х0+?х, значение функции в

этой точке – f(х0+?х). Разность значений f (х0+?х) – f(х0) называется

приращением функции, обозначается приращение функции ?f или ?у, т.е.

?f=f(х0+?х) – f(х0). Рис. 1

Рис.1

?у

х0

х0 + ?х

Производная функция у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения

приращения функции ?у к приращению аргумента ?х, при стремлении ?х к нулю.

f `(x0) = lim (?f/?x). Этот предел будет иметь конечное значение, если

только и числитель стремиться к нулю (приращение функции ?f>0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя.

Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции.

Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее

изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается

через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) –

производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой

переменной (аргумента) ?х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и

таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в

точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет

производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в

интервале.

Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V2(x)

Таблица производных.

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1

3. (x?)` = ? x? – 1, ? Є R

4. (ax)` = ax lnx, a>0 , a?1

5. (ln x)` = 1/x

6. (sin x)` = cos x

7. (cos x)` = - sin x

8. (tg x)` = 1/(cos x)2

9. (ctg x)` = - 1/(sin x)2

10. (arcsin x)` = 1/[pic]2)

11. (arccos x)` = - 1/[pic]2)

12. (arctg x)` = 1/(1 + x2)

13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x2)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив

соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ?х = 0,1

Решение: f(х) = х2, f(х+?х) = (х+?х)2

Найдем приращение функции ?f = f(x+?x) – f(x) = (x+?x)2 – x2 =

x2+2x*?x+?x2 – x2 = 2x*?x + ?x2/

Подставим значения х=1 и ?х= 0,1, получим ?f = 2*1*0,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01

= 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х

по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

Решение: (х2)` = lim ?f / ?х

Из первого примера ?f = 2x*?x+?x2, подставим, получим

(x2)` = lim ?f / ?х = lim (2x*?x+?x2)/?x = lim [?x (2х + ?х)]/ ?x

= 2x

Пример 3. у = 1-х, Найти ?у при х=2, ? = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+?х) = 1 – (х+?х),

?у = у (х+?х) – у(х) = 1-х - ?х – (1 – х) = 1-х - ?х – 1 + х = - ?х

при х = 2, ?х = 0,1 ?у = -?х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.

Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *?х.

Решение: у` = (x2)` *?х + x2 *(?х)` = 2x ?х + x2 *?х ln?

ln ? = log?? = 1. y` = 2x?x + x2 * ?x

Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] / (х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2)

/ (x2+1)2

Производные от сложных функций.

Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f (?(х))]` = f?`(?(x)) * ?`(x)

Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx *

cosx.

Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х

Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/

Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х).

Производная от этой производной и называется производной второго порядка от

функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2). Аналогично

определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) =

(d3y) / (dx3).

производная четвертого порядка уIV = f IV(x) = (d4y) / (dx4).

производная n-oго порядка у(n) = f (n)(x) = (d n y) / (dxn).

Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2 +2, потом

вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у```.

Решение. y` = sinx + xcosx

y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства

неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на

интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2 для

любых х Є (-?, ?).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 –

100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на некотором

интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F2(x) = F1(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции

отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на

интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и

обозначается [pic]f(x)dx, где [pic]- знак интеграла, f(x) – подинтегральная

функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

[pic]f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется

интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ([pic](f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла

равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному

выражению. d([pic]f(x)dx) = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции с точностью до постоянного слагаемого.

[pic]d(F(x)) = F(x) + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

[pic], где к - число

5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

[pic](f(x) +?(x))dx = [pic]f(x)dx + [pic]?(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу

неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

1. [pic]х? dx = [x?+1 / (? +1)] +C, ? ? -1, ? Є R

2. [pic]dx/x = ln|x|+C

3. [pic]ax = (ax/ln a)+C, [pic]exdx = ex+C

4. [pic]sinx dx = -cosx + C

5. [pic]cosx dx = sinx + C

6. [pic]dx/(cosx)2 = tgx + C

7. [pic]dx/(sinx)2 = -ctgx + C

8. [pic]dx /[pic]2-x2) = (arcsin x/a) + C

9. [pic]dx / [pic]2 – x2) = (-arccos x/a) +C

10. [pic]dx / a2 +x2 = 1/a arctg x/a +C

11. [pic]dx / a2 +x2 = - 1/a arcctg x/a +C

12. [pic]dx / a2 -x2 = 1/2a ln |x+a/x-a| +C

13. [pic]dx / [pic]a2 +x2) = ln |x+ [pic]2+x2)| +C.

Пример 1. Вычислить [pic](2х2 -3[pic] -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и

первой табличной формулой. [pic](2х2 -3[pic] -1)dx = 2[pic]х2 dx -

3[pic]х1/2 dx - [pic]dx=

= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 - 2[pic]3 – x +C.

Пример 2. [pic](2/[pic] -1/х + 4sinx)dx = [pic]2х –1/2dx – ln |х| -

4cosx + C =

= 2[(x1/2 *2)/1] – ln |x| - 4 cosx +C = 4[pic] -ln|x|- 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы:

метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены

переменной), метод интегрирования по частям.

Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными

функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные

интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами

функции не интегрируемыми в элементарных функциях.

Например, [pic]e –x^2 dx, [pic]sinх2 dx, [pic]cosх2 dx, [pic]sinx/x dx,

[pic]cosx/x dx, [pic]dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не

существует такой элементарной функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) =

sinx2 и т.д.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п

элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На

каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и

положим

?хi = xi – xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение

функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …,

f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:

f(C1)?x1 + f(C2)?x2 + … + f(Ci)?xi + … + f(Cn)?xn = ? f(Ci)?xi.

Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на

отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения

отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом

элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1

y = f(x)

S1 S2 S3

0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в

Рис.1

Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.

С1 ,С2 ,С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S1 = f1(C1) ?x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке

разбиения, ?х1 = х1-х0,

S2 = f2(C2) ?x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке

разбиения. ?х2 = х2-х1,

S3 = f3(C3) ?x3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем

отрезке разбиения. ?х3 = х3-х2,

S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1)?x1 + f2 (C2)?x2 + f3 (C3)?x3 = ? f(Ci)?xi.

Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Понятие определенного интеграла.

Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где

i=1,2,…п

Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении

max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения

отрезка

[a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел

называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и

обозначается [pic], т.е [pic] = lim ? f(Сi)?xi при

max ?xi >0

Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) –

подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.

Некоторые свойства определенного интеграла.

10 . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения

переменной интегрирования, т.е.

[pic] = [pic] = [pic] и т.д.

20. [pic] есть число.

30. [pic] = - [pic], а<b

40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

[pic] = m [pic], где m – const.

50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

[pic]

60. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то

интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.

[pic] = [pic],

Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые

подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула

называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на (а; b(.

[pic] = F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).

Например, [pic] - вычислить.

1) Находим первообразную для функции х2, т.е. неопределенный интеграл

от х2, произвольную постоянную С приравняем к нулю.

[pic] = x3/3 | = 1/3 – 0/3 = 1/3

2) Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела,

равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

Пример 1. Вычислить [pic]|= sin ?/2 – sin ?/6 = 1 – Ѕ = 1/2

Пример 2. Вычислить [pic]| = 22 – 24/4 – [ (-1)2 – ((-1)4/4)] =

= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.

Тема 14. Несобственные интегралы.

Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на

отрезке (а; b(, когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно,

ограничена) на конечном отрезке (а; b(. Если отрезок интегрирования

бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы

встречаемся с понятием несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом [pic]. Такой

интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.

[pic]= Ф(х), х ? а.

Определение. [pic] – называется несобственным интегралом от функции

f(x) на интервале (а;(), вводится он как предел функции Ф(t) при t ((,

т.е.

[pic].

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то

несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример 1. Вычислить [pic]

Решение [pic] = lnx | = lim lnx – ln2 = ? - ln2 = ?.

Интеграл расходится.

Пример 2. Вычислить [pic]

Решение [pic] = [pic] = x –2/-2 | = -1/(2x 2) |= -1/2 (lim 1/x2 – 1) =

-1/2 (0-1) = 1/2

Интеграл сходится к Ѕ.

По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-(, b(.

[pic]

Определение сходимости [pic] аналогично предыдущему.

Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-(; ().

[pic], а – некоторое число.

Интеграл [pic] сходится, если оба интеграла [pic] и [pic] сходящиеся,

если же один из них расходится, то [pic] - расходится.

Пример 3. Вычислить [pic] .

Решение. [pic].

Рассмотрим [pic] = ex | = e0 – lim ex = e0 – 1/e? = 1-0 = 1.

Интеграл сходящийся к 1.

Рассмотрим [pic] = ex | =lim ex - e 0 = e? – 1 = ?.

Этот интеграл расходится, значит [pic] - расходящийся несобственный

интеграл.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл [pic].

этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что [pic]2().

Несобственные интегралы от разрывных функций.

Если y = f(x) непрерывна на (а; b), но lim f(x) = (, то вводится

понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

Определение. Если существует и конечен предел lim [pic], где ( > 0, то

он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале

(а; b) и обозначается [pic], т.е. [pic] = lim [pic]

В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в

противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла

[pic]= lim [pic], если lim f(x) = (

Пример 4. Вычислить [pic] = 2х1/2 | = 2([pic] -lim[pic]) =2.

Интеграл сходится к 2.

Тесты к теме 1.

1. На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по

Колмогорову)?

1: 2

2: 4

3: 1

4: 5

2. К какому времени относится начало периода элементарной математики?

1-: XV в

2: I век н.э.

3: VI-V век до н.э.

4: XII в.

3. Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?

1: функция

2: число

3: совокупность чисел

4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).

4. Перечислите основные черты математического мышления.

1: логические рассуждения, математическая интуиция;

2: доказательство;

3: математическая интуиция;

4: умение правильно считать.

5. Какие два вида умозаключений преобладают в математике?

1: моделирование, дедукция.

2: индукция, интуиция;

3: абстрагирование, интуиция;

4: индукция, дедукция;

6. Является ли математика искусством вычислять или наукой?

1: наука,

2: искусство вычислять.

Тесты к тема 2

1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?

1: Определение основных понятий данной науки.

2: Утверждение, требующее доказательства.

3: Утверждение, принимаемое без доказательств.

4: Некоторое логическое рассуждение.

2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из

представленных?

1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью

дедуктивного метода?

2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом.

3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли

доказательства составной частью дедуктивного метода?

3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?

1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.

2: Аксиоматическое построение геометрии.

3: Мифы Древней Греции.

4: Учение о параллельных прямых.

4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к

созданию неевклидовой геометрии?

1: Гаусс, Бойяй

2: Лагранж, Ферма

3: Пуассон, Эйлер

4: Коши, Буняковский

5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?

1; 1804

2: 1800

3: 1850

4: 1900.

Тесты к теме 3.

1 Что представляет собой мнимая единица ?

1: корень кв. из -1,

2: –1

3: ( i )^2

4: (-1)^2

2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0

1: Х1=1/2; Х2=3/2

2: Корней нет

3: Х1,2=1/2+-3/2i

4: Х1=2, Х2=-1

3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.

1: Z=1-i

2: Z= -1+i

3: Z=2+3i

4: Z=1+2i

4. Произвести действия : Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.

1: Z= 4

2: Z=-8+3i

3: Z= -2+6i

4: Z=4-i

5. Найти Z”, если Z=2-i.

1: Z= -2-i

2: Z= -2+i

3: Z= 2+i

4: Z= 2

6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его

вещественную и мнимую части.

1: Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3

2: Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0

3: Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3

4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3

7. Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0

1: Х=2

2: Корней нет

3: Х1,2=+-2i

4: Х= -2

8. Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу

ему соответсвующие.

1; (-3;2)

2: (3,2)

3: (3, -2)

4: (-3,0)

9. Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.

1: Z=1/5-3i

2: Z=4/13 – 7/13i

3: Z=1/26-3i

4: Z=1-i

Тесты к теме 4.

1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).

Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0

1: М1(3,1);

2: М2(2,3);

3: М3(6,0);

4: М4(-3,-1).

2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату

этой точки.

1: у=-1,

2: у=0,

3: у=1,

4: у=5.

3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу

этой точки.

1: х=0,

2: х=4,

3: х=1,

4: х= -4.

4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.

1: АВ=2.

2: АВ=4,

3: АВ=8,

4: АВ=4 * корень кв. из 2,

5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.

|2х+3у-1=0 |х+у+5=0 |х+5=0 |х-2у+3=0 |

|4х+6у+1=0 |х-у-3=0 |2х+5у=0 |2х-у-1=0 |

|1: 2х+3у-1=0 | | |

|4х+6у+1=0 | | |

|2: х+у+5=0 |

|х-у-3=0 |

|3: х+5=0 |

|2х+5у=0 |

|4: х-2у+3=0 |

|2х-у-1=0 |

6.Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0, 4)х^2 +у^2=1

Найти среди них уравнение прямой.

1: у^2=х,-

2: х - у=0,

3: у=х^2+1

4: х^2+у^2=1

7.Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение

прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси

ординат.

1: в= -1

2: в=1

3: в=1/2

4: в=0

8.Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку

параллельно прямой 2х - у+3=0

1: х=2у

2: 2х - у=0;

3: х+у - 2=0;

4: 2х - у+4=0;

9.Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.

1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у

1: х+у-5=0, у=+х+2

2: х+у-5=0, 2х=у

3: у=х+2, у=2х

4: у=х+2, 3х-3у+1=0.

10.Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.

1: А(1,1);

2: А(-5,0);

3: А(5,0);

4: А(0,5)

Тесты к теме 5.

1.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом

равным 2.

1: х^2 + у^2 = 4

2: х^2 + у^2 = 2

3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4

4: х^2 = 2

2.Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на

этой окружности: М1 (0, 0), М2 (1, 2), М3 ( - 1, 3); М4 (0, 2).

1: М2(1, 2),

2: М1(0, 0),

3: М3( - 1, 3),

4: М4(0, 2),

3.Из четырех уравнений найти уравнение эллипса.

1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9

1: нет уравнения эллипса

2: х/25 + у/16 = 1

3: х^2/9 + у^2/4 = 1

4: х^2 + у^2 = 9

4.Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений:

1) х/16 - у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2 + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1

1: х^2 + 2у^2 = 1

2: х/16 - у/9 = 1,

3: х^2 + у^2 = 1,

4: х^2 – у^2 = 1,

5.Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между

фокусами F1 F2= 8.

1: x^2/64+y^2/9=1

2: x^2/16+y^2/9=1

3: x^2/8+y^2/9=1

4: x^2/25+y^2/9=1

6.Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет

Е=0,5.

1: x^2/6+y^2/2=1

2: x^2/6+y^2/9=1

3: x^2/36+y^2/27=1

4: x^2+y^2=1

7.х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот.

1: y=+-х

2: у=+-1/2х;

3: y=+-1/18 х

4: y=1/3х

8.На параболе у^2=6х найти точку с абциссой равной 6

1: М(0,6)

2: М(6,6)

3: М(6,0)

4: М1(6,6) и М2(6,-6)

9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F.

1: F(3/2;0)

2: F(3,0)

3: F(0,6)

4: F (0,3)

10.Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4.

1: x/81 - y/4=1

2: x^2/9+y^2/4=1

3: x^2/81 - y^2/16=1

4: x^2 - y^2=9

Тесты к теме 6.

1. Вычислить определитель !2 3!

!4 5!

1: -2,

2: 22,

3: 2,

4: 7,

2. Вычислить определитель !2 3!

!4 5!

1:-5,

2: 10,

3: 1,

4: 0,

3. Справедливо ли равенство !2 8 10! !1 4 5!

!1 3 -1! =2 !1 3 –1!

!2 0 !1 !2 0

1: Нет,

2: Да,

4. Дан определитель !1 5 3! Найти минор М21 к элементу а21 = 6.

!6 1 0!

!3 0 –1!.

1: М21= 0,

2: М21= -2,

3: М21= 1,

4: М21= 4,

5.Дан определитель !1 5 3! Найти алгеброическое дополнение А21 к

!6 1 0! элементу

а21 = 6.

!3 0 –1!.

1: А21= 2,

2: А21= -2,

3: А21= 1,

4: А21= 4,

6. Если элементы второй строки определителя умножить на соответствующие

алгебраические дополнения и произведения сложить, то получим:

1: отрицательное число,

2: ноль,

3: любое число,

4: величину определителя,

7. Дана система уравнений х+у=3

2х-3у=1.

Имеет ли эта система единственное решение?

1: Да,

2: Нет.

8. Дана система уравнений х - у=1

4х-4у=4

1: система не имеет решения,

2: система имеет единственное решение,

3: система неопределенная,

9. Дана система 2х-3у+5z=1

х+у-z =2

3х-у-2z=3

Указать свободные члены:

1:(5, -1, -2);

2: (2, 1, 3);

3: (-3, 1, -1);

4: (1, 2, 3);

10. Может ли определитель иметь три строки и два столбца?

1: Да.

2: Нет,

Тесты к теме 7.

1. Выберите правильное утверждение:

1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов.

2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов.

3) Матрица не может состоять из одной строки.

4) Матрица не может состоять из одного столбца.

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

2. Может ли матрица состоять из одного элемента?

1: Да,

2: Нет,

3: Да, если это элемент не равен нулю.

3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, Ѕ) на число (-2):

1: -7

2: (1, -1, 3, -1)

3: (-2, -1, 3, Ѕ)

4: (-2, 2, -6, -1)

4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3?

1: Нет

2: Да.

5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4?

1: Нет.

2: Да.

6. Транспонирование матриц – это:

1) Перестановка местами двух столбцов.

2) изменение знака у всех элементов,

3) Перестановка местами двух строк,

4) перестановка местами строк и столбцов,

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то транспонированная

матрица будет иметь размерность:

1: 6*6

2: 6*7

3: 7*6

4: 7*7

8. Единичная матрица – это:

1: Матрица, у которой все элементы равны 1.

2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули

3: Матрица, определитель которой равен 1.

4: Матрица, содержащая только один элемент.

9. Если А=(1,3, -2), В= (-1)

(0 )

(2 ) , то А*В равно

1: -5

2: (-1 0 –4)

3: (-1)( 0 )(-4)

4: Перемножить нельзя

Тесты к теме 8.

1. N – множество натуральных чисел. Какое из множеств является его

подмножеством: А= {2, 4, 6, 8…}, В= (N2, N3, N4,…}; С= {1, 1/2, 1/3, 1/4,

…};

Д= {1, 0, 1}?

1: В,

2: А,

3: С,

4: Д,

2. Найти пересечение множеств А= {1, 3, 5, 7, 9} и В= {2, 4, 6, 8}.

Ответ: пустое множество,

1: {1}

2: {1,2,3,4,5,6,7,8}

3: {0}

3. Найти объединение множеств А и В, если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}.

1: AUB = {0}

2: AUB = 0

3: АUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

4: AUB = {2,4,6,8}

4. Найти разность множеств А \ В, если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}.

1: А\B = {3, 4}

2: A\B = {0,3,4}

3: A\B = {0,1,2}

4: A\B = {1,2,3}

5. Если /х/<2, то в виде двух неравенств его можно записать так:

1: -2<x<2

2: -2<=x<=2

3: 0<x<2

4: -2<x<0.

6. Если /х-1/<E, то E – окрестность точки 1 можно записать так:

1: -Е<x<Е

2: 1-Е<x<1+Е

3: 0<x<1+Е

4: -Е<x<0.

7. Если х принадлежит [-1, 3]. Какое из значений может принять х?

1: x<-1

2: -x= -3

3: x=0

4: x=4.

8. Если х не принадлежит (-2, 2). Какое из значений может принять х?

1: x= -1.

2: -x= 0

3: x=2

4: x= -4

9. Если –2<х<=0, то решением является:

1: (-2, 0)

2: (-2, 0]

3: (-2, 2)

4: [-2, 0].

10. Найти пересечение множеств (-2, 2) и (-3, 1):

1: (-3, 2)

2: [0, 1]

3: (-2, 1)

4: [-2, 0].

Тесты к теме 9. «Функция. Классификация функций».

1. Найти область определения функции у = (х-2) / (х^2 – 9)

1: (0, 2)

2: (-00, -9) U (9, 00).-

3: (2, 3).

4: (-00, -3) U (-3,3) U (3,00).

2 Найти область определения функции у = (х-1)^1/2

1: (-00, 00).

2: (0, 00).

3: [1, 00).

4: x = 0

3. Найти область определения функции у = lg(2+х)

1: (-2, 00).

2: [2, 00).

3: (-00, 00).

4: x = 0

4. Найти значения функции у = х^2/ (х-1) в точке х = 0.

1: у = -1.

2: у = 0.

3: у = 00.

4: у = 2

5. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = 1.

1: у = -1.

2: у = 1.

3: не существует.

4: у = 2

6. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = (а^2) +1.

1: у = не существует.

2: у = ([а^2]+1)/а^2.

3: у = -1.

4: у = [(а^2 + 1)^2]/а^2.

7. Дана функция у = (sinх)^2 +5. К какому классу функций она принадлежит?

1: Трансцендентная.

2: алгебраическая.

8. Написать целую алгебраическую функцию второй степени, в общем виде.

1: у = х^2.

2: у = [(А0)*х^2] + (А1)*х + А2.

3: у = [(А0)х^2]+1.

4: у = (х^2)/(х+1)

9. Указать дробно-рациональную функцию из заданных функций:

1) у=2*х/(1+х+х^2); 2) у=х/(sinх); 3) у=(2)^х/2; 4) у= lg(х+2)/(х-2)

Ответ: 1).

Ответ: 2).

Ответ: 3).

Ответ: 4).

10. Дана сложная функция у = [sin (1-х)]^2. Представить ее в виде цепочки

простых функций.

1: U = sin x, V = U-1, y = (U-1)^2.

2: U = sin(1-x), y = U^2.

3: U = 1-х, V = sinU, y = V^2.

4 y = [sin(1-x)]^2 – простая функция

Тесты к теме 10.

1. Найти: lim [2/(x-1)];

1: 2

2: 0

3: не существует.

4: 1

2. Найти: lim [2/(x+2)];

1: не существует.

2: 0

3: 2/3

4: 1/2

3. Найти: lim [(х2+5х+6)/(x2-9)];

1: 0

2: 5/6

3: 1/2

4: 1/6

4. Найти: lim [(1+х2) / (x3+2х2+х-1)];

1: 1

2: 0

3: -1

4: 00

5. Найти: lim [х / sin x];

1: 1

2: 0

3: не существует.

4: 00

6. Найти: lim [sin5x / x];

1: не существует.

2: 0

3: 00

4: 5

7. Найти: lim [1+(1/(x+2))]х;

1: 00

2: 1

3: е

4: не существует

8. Найти: lim [1+(1/x)]2х;

1: е2

2: е

3: 1

4: 00

9. Является ли функция у=х2 непрерывной в точке х=2

1: Нет

2: Да

10. Является ли функция у=1/(2х+1) непрерывной в точке х=1

1: Да

2: Нет

Тесты к теме 11.

1. Найти приращение функции у=1/х, если х=1, ?х=0,1.

1: - 1/11,

2: 0,1,

3: 0,01,

4: - 1,

2. Пользуясь определением производной, найти производную от функции

у=х^3.

1: 3х^2?х,

2: х^2,

3: 3х^2 - 1,

4: 3х^2,

3. Найти производную от функции у=хe^x , в точке х=0.

1: e+e^-1,

2: e^1,

3: 1,

4: 0,

4. Найти производную от функции у=х^5 – јx^4 + 3, в точке х.

1: 5x^4 – x^3 + 3,

2: 5х^4 – x^3,

3: 5x^4 – x^4 + 1,

4: 3,

5. Найти производную от функции у=sinx/cosx

1: sinx - cosx,

2:-cosx/sinx,

3: 1/cosx^2,

4: 1,

6. Найти дифференциал функции у=х^3 – 1.

1: 3(dx)^2,

2: 3x^2,

3: 3dx,

4: 3х^2dx,

7. Дана функция у=3х^2 – х + 1. Найти у``

1: 6x,

2: 6,

3: 1,

4: 6x^2,

8. Найти у```, если у=х^6 – 1/4х^4+1/2x^2+2.

1: 120х^3 – 2x,

2: 120x^3,

3: 120x^3 – 2x +2,

4: 120,

9. Найти у```, если у=(х^2)*e^x.

1: 2e^х + 4xe^x +(x^2)*e^x,

2: 2xe^x+(x^2)*e^x,

3: 2xe^x + e^x,

4: 2e^x,

Тесты к теме 12.

1. Найти первообразную для функции у = х.

1: х – 2

2: 2х,

3: 2х^2,

4: (х^2)/2.

2. Даны функции F1 (x) = sinx – 8, F2 = sinx +3. Первообразными для

какой функции они являются ?

1: х,

2: cosx,

3: -cosx,

4: -х.

3. Найти производную от функции $ln(x^2 +1)dx.

1: 2х/ [(x^2) +1],

2: ln[(х^2)+1].

3: ln((х^2)+1)dx,

4: 1/((x^2)+1)

4. Найти дифференциал от функции $x arcsin2x dx.

1: x arcsin2x dx.

2: arcsin2х,

3: arcsin2x dx,

4: [arcsin2x +2x/ (1-4(x^2))^1/2]dx.

5. Вычислить $d(2^x^2)

1: (2^х^2) (ln2)2x,

2: (2^х^2)+C.

3: (2^х^2)dx,

6. Вычислить интеграл $(x^2 -3)dx.

1: [(x^3)/3x] – 3x,

2: [(х^3)/3] – 3х +С.

3: (3х^3)+C,

4: [(x^2)-3]+C

7. Справедлива ли формула $U(x) V(x)dx = $U(x)dx*$V(x)dx?

1: Нет

2: Да.

8. Можно ли вынести постоянный множитель за знак интеграла ?

1: Да.

2: Нет

9. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $sin(x^2) dx,

$lnx/x dx, $[1+ (x^1/3)] dx.

1: sin(x^2) dx.

2: $ lnx/x dх,

3: $[1+x^1/3]dx.

10. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $(e)^-x^2 dx,

$xe^x^2, $x^2 e^-x^2 dx, $xe^-x^2 dx.

1 .$xe^-x^2 dx,

2: $ xe^x^2 dх,

3: $e^-x^2 dx

4: $[(x^2) (e^-x^2)] dx.

Тесты к теме 13.

1. Вычислить интеграл в пределах (1, 00) от функции dx/(x^2).

1: 1,

2: расходится,

3: 0,

4: -1,

2. Вычислить интеграл в пределах (0, 00) от функции e^-x dx.

1: расходится,

2: 1,

3: 0,

4: -1,

3. Вычислить интеграл в пределах (-00, 00) от функции e^-2x dx.

1: -1,

2: 0,

3: 1,

4: расходится,

4. Вычислить интеграл в пределах (0, 1) от функции dx/x.

1: 2,

2: сходится

3: расходится,

4: 0,

Тесты к теме 14.

1. Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(x) на отрезке [а, в]

от способа разбиения отрезка на 10 частей ?

1: Да,

2: Нет,

2.Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(х) на отрезке [а, в]от

выбора точек Сi на i элементарном отрезке, i = 1,2,…,п?.

1: Нет,

2: Да,

3. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции (sinx^2 –

3x^1/2)dx = $ в пределах от (0, 2) от функции sinx^2 dx + 3$ в пределах (0,

2) от функции х^1/2 dx ?

1: Да,

2: Нет,

4. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции f(x)dx =

интегралу в пределах (0, 1) от функции f(x)dx + интеграл в пределах (1, 2)

от функции f(x)dx.

1: Нет,

2: Да,

5. Вычислить интеграл в пределах (4, 3) от функции (x^1/2)dx.

1: 2/3,

2: 19,

3: 38/3,

4: 1,

6. Вычислить интеграл в пределах (0,П/2) от функции (sinx)dx.

1: 1/2,

2: -1,

3: 0,

4: 1,

7. Вычислить интеграл в пределах (1, 3) от функции dx/х^2.

1: -1/3,

2: 2/3,

3: 1,

4: 0,

8. Найти значение интегральной суммы для f(x) = 1 на отрезке [a, в].

1: в-а,

2: ав,

3: 1/в-а,

4: 2,

9. Верно ли равенство интеграл в пределах (0, 2) от f(x)dx.= - интеграл

в пределах (2, 0) от f(x)dx ?

1: Нет.

2: Да,

-----------------------

Рис.1

Z (x,y)

Z2[pic]

-2

-1

-2

Рис 1.

М (х,у)

А (3,2)

-1

-1/2

-2

-1

Рис 3.

Рис.4

Рис.5

-1

Рис.6

}в

Рис 1.

M(x,y)

M (x,y)

-р/2

F(p/2;0)

М(х,у)

F(0,p/2)

-р/2

директриса

F (-1,0)

-1

F(1,0)

yІ = - 4x, p=2, F(-1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

F(0,1)

-1

F(0,-1)

Х2 = - 4у, р = - 2, F (0, -1)

У = 1 – уравнение директрисы

(х – а)2 + (у – в)2 = R2

А (а, в)

Рис. 7

3 2 4 –1

-2 1 5 6

12 8 16 –4

-8 4 20 24

3 2 4 –1

-2 1 5 6

1 2

2 4

3 1

3 4 1 3

2 –1 –2 4

7 2 –3 11

14 4 –6 22

11 11 1 13

3 4 1 3

2 –1 –2 4

1 2

2 4

3 1

С11С12С13С14

С21С22С23С24

С31С32С33С34

7 2 –3 11

14 4 –6 22

11 11 1 13

х, если х ? 0

-х, если х < 0

x>a

f(a)=b

х>а

х> -2

х> 00

х> 0

х> 00

х> 0

х> 00

х> 0

х> 00

х> 0

х> 00

х> -3

х> 1

х> 00

У = f(х)

?х

?x>0

I=1

i=1

?/2

?/6

-1

t>?

x>?

b> -?

x> -?

х>в-0

?>0

х>а+0

?>0

Страницы: 1, 2