Шпора

Шпора

|Билет №1 | |Вопрос №3 | |Вопрос №5 |

|Пусть в обл. P плоскости | |Пусть в плоскости XOY | |Формула Грина. |

|XOY задана некоторая | |задана плоскость Д, | |[pic] |

|фун-ия z=f(x;y). Разобъём| |ограничен-ная следующими | |Теорема: Пусть задана |

|обл. P на n частичных | |кривыми: y=(1(x) a ( x ( a | |область Д огран. след. |

|обл. Рi , где i=1…n, | |– снизу; | |кривыми: |

|возмём произвольную точку| |y=(2(x) a ( x ( b – сверху;| |y=(1(x) a ( x ( b |

|обл. ((I;(I) ( Рi , ( - | |x = a – слева; x = b – | |y=(2(x) a ( x ( b |

|наиболь-ший диаметр | |справа; | |x=a , x=b, где ф-ции |

|чатичных обл. | |Тогда имеет место следующая| |(1 и (2 непрер. на (a,b).|

|Построим частичную сумму | |теорема. | |Пусть в этой области |

|– сумму Римена. | |Теорема: Если функция | |задаётся функция P(x,y) –|

|[pic] | |f(x;y) задана в области Д | |непрер. и имеющая непрер.|

|Определение: | |такова, что существует | |частную производную: |

|[pic] | |двойной интеграл | |[pic], тогда имеет место |

|Если существует конечный | |[pic] | |след. равенство: |

|предел и не зависит от | |для любого фиксированного | |[pic] |

|способа делений области | |x( [a ; b] существует одно-| | |

|на части и от выбора т. | |мерный интеграл | |Доказательство: |

|((I;(I) в каждой из | |[pic] | |Рассмотрим двойной |

|частичных областей, то | |то тогда существует | |интеграл, стоящий справа |

|такой предел принято | |повторный интеграл | |в формуле(1). Т.к. под |

|называть двойным | |[pic] | |интегралом стоит непрер. |

|интегралом по обл. Р и | |Доказательство: | |функция, то такой двойной|

|пишут: | |[pic] | |интеграл существует, |

|[pic] | |Обозначим c=inf (1(x) a ( | |также существует |

|В случае, если фун-ия f >| |x ( b; d=max (1(x) a ( x (| |одномерный интеграл[pic] |

|0 мы приходим к | |b и рассмотрим | |и его можно вычислить |

|геометрическому смыслу | |прямоугольник | |через повторный: |

|двойного интеграла: | |R=[a,b;c,d](Д. P=R\Д (раз-| |[pic] |

|днойной интеграл – это | |ность множеств). Построим | |Теорема: Пусть задана |

|объём некоторого | |вспомогательную функцию | |область Д огран.: |

|цилиндрического тела, | |[pic] | |[pic] |

|сверху ограниченного | |Рассмотрим | |y=(1(x) с ( x ( d |

|пов-тью z = (x;y), | |[pic] | |y=(2(x) c ( x ( d |

|которая проектируется на | |Получаем следующее | |x=c , x=d. И пусть в |

|плоскость XOY в обл. Р, а| |равенство: | |этой области задаётся |

|образующие параллельны | |[pic] | |функция Q(x,y) – непрер. |

|OZ. Площадь обл. Р: | |Замечание: Пусть теперь | |и имеющая непрер. частную|

|[pic] | |область Д ограничена | |производную: [pic], тогда|

|Двойной интеграл от | |следующими линиями: | |имеет место след. |

|f(x;y) имеет многие | |[pic] | |равенство: |

|св-ва, аналогичные св-ам | |x=(1(y) c ( y ( d – слева; | |[pic] |

|одномерного интеграла. | |x=(2(y) c ( y ( d – справа;| | |

|Св-ва двойного интеграла:| | | |Cкладываем формулы (1) и |

| | |x = c – сверху; x = d – | |(2) и получаем следующую |

|1.Необходимым условием | |снизу. И пусть | |формулу Грина для области|

|сущ. Двойного интеграла | |[pic] | |Д: |

|явл. ограниченность ф-ции| |Тогда аналогично | |[pic] |

|f в обл. Р, т.е если сущ.| |предыдущему можно показать,| |D P(x,y), Q(x,y) |

|интеграл, то f(x;y) – | |что существует повторный | |[pic], [pic] |

|ограниченная. | |интеграл и | |[pic] |

|2.Всякая непрырывная | |[pic] | |Вычисление площадей через|

|ф-ция, заданная в обл. Р,| |Если же функция f(x;y) | |крив интеграл |

|интегри-руема. | |такова, что существует | | |

|3.Если ф-ция f(x;y) в | |двойной интеграл, | |[pic] |

|обл. Р имеет разрывы на | |существует оба повторных, | |Применим ф. Грина, т.е. |

|конечном числе | |то одновременно имеют место| |выразим его через |

|непрырывных кривых, | |формулы (1) и (2) и можно | |криволинейный интеграл по|

|принадлежащих этой обл., | |пользоваться любой из них. | |границе области. |

|то f интегрирума по обл. | | | |1. Q = x P = 0[pic] |

|Р. | | | |2. Q = 0 P = -y[pic] |

|4.Сумма Дарбу: | | | |Суммируем 1 и 2 :[pic] |

|[pic] [pic] | | | | |

|Теорема: Для того, чтобы | | | |Пример: Вычислить площадь|

|двойной интеграл от | | | |эллипса |

|ограниченной обл. Р | | | |[pic]. |

|существовал, необходимо и| | | |Сделаем замену |

|достаточно, чтобы | | | |переменных[pic] |

|выполнялось равенство: | | | |0 ( t ( 2( |

|[pic] | | | |[pic] |

|5.Аддетивность двойного | | | | |

|интеграла, т.е., если | | | | |

|задана обл.Р некоторой | | | | |

|непрырывной кривой | | | | |

|разбита на две обл-ти | | | | |

|Р1иР2 не имеющих общих | | | | |

|точек, то, если двойной | | | | |

|интеграл по обл. Р | | | | |

|существует, то существуют| | | | |

|интегралы относительно по| | | | |

|двум областям. | | | | |

|[pic] | | | | |

|6.Линейность: | | | | |

|[pic] | | | | |

|7.Если f(x;y) ( g(x;y) | | | | |

|для ((x;y)(P и ф-ции f и | | | | |

|g интегрируемы, то | | | | |

|соответственно | | | | |

|справедливо неравенство: | | | | |

|[pic] | | | | |

|9.Если f(x;y) | | | | |

|удовлетворяет нер-вам m | | | | |

|( f(x;y) ( M, то | | | | |

|справедливо следующее | | | | |

|неравенство: | | | | |

|[pic] | | | | |

|10.Для двойного интеграла| | | | |

|имеет место теорема о | | | | |

|среднем: если z = f(x;y) | | | | |

|– ф-ция, заданая в обл. Р| | | | |

|и такая, что во всех | | | | |

|точках этой области | | | | |

|выполняется нер-во m ( | | | | |

|f(x;y) ( M, где | | | | |

|[pic] | | | | |

|то существует число ( | | | | |

|такое, что справедливо | | | | |

|равенство: | | | | |

|[pic] | | | | |

|В случае непрырывности | | | | |

|ф-ции: | | | | |

|[pic] | | | | |

|Вопрос №6 | |Вопрос №4 | |Вопрос №2 |

|Неприрывную кривую назыв.| |Пусть заданы 2 плоскости с | |Теорема: Пусть z = f(x,y)|

|простой кривой | |введенными в прямоугольник | |– ограниченная функция, |

|(жордановой), если она не| |декартовыми системами | |заданная на |

|имеет точек | |координат | |прямоугольнике R = |

|самопересечения. | |[pic] | |[a,b;c,d], и существует |

| | |XOY и UOV. Пусть в | |двойной интеграл по этому|

|Областью называется | |плоскисти XOY задана | |прямоугольнику [pic] |

|всякое открытое связаное | |область DV ограниченная | |Если для ( X [a,b] |

|мн-во, т.е. такое мн-во | |кривой Г, а в плоскости | |существует одномерный |

|всякая точка кот. явл. | |UOV задана область G | |интеграл |

|внутренней и любые две | |ограниченная кривой L | |[pic] |

|точки этого мн-ва можно | |Пусть функция | |то ( повторный интеграл |

|соединить непрерывной | |[pic]отображает область G в| |[pic] |

|кривой все точки кот. | |области D, где т.(u,v)( G, | |Доказательство: |

|принадлежат данному | |а т.(x,y)(D. | |[pic] |

|мн-ву. | |Будем предпологать , что | |Разобьем отрезки ab и cd |

| | |функции x и y такие, что | |отрезками a=x0<x1<…<xn=b,|

|Область называется | |каждой точке области G | |c=y0<y1<…<yn=d. |

|односвязной областью, | |соответствует точка области| |Рассмотрим теперь |

|если внутренность всякой | |D и причем это соответствие| |частичный прямоугольник |

|замкнутой кривой содержит| |такое, что различным точкам| |Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] |

|только точки данного | |области D соответствуют | |mik=inf f(x,y) Mik=sup |

|мн-ва. | |различные области точки G. | |f(x,y) |

|Теорема 1. Пусть Д | |Причем всякая точка области| |Rik |

|ограниченная односвязная | |D имеет единственный | |Rik |

|область пл-ти x и y, | |прообраз (u,v) в области G.| |На промежутке [xi;xi+1] |

|тогда для того чтобы | | | |возьмём точку (. Будем |

|криволинейный интеграл | |Тогда существует обратная | |рас- сматривать точки, |

|[pic] | |функции [pic] | |лежащие на прямой x = (. |

|был равен нулю по любой | |которая взаимноодназначно | |Получаем следующее |

|замкнутой кривой Г(Д, | |отображает область D в | |неравенство mik( f((;y)( |

|(где P(x,y) и Q(x,y) | |области G. Т.к. заданием | |Mik yk( y( yk+1 |

|непрерыв. И имеет | |двух точек U,V одназначно | |Проинтегрируем его по |

|непрерыв. Частные | |определяют т.(x,y) в | |отрезку [yk; yk+1] |

|производ. [pic] и [pic])| |области D, то числа U и V | |[pic] |

|необходимо и достаточно | |принято называть | |Замечание: если же |

|чтобы вып. Такое | |координатами точек в облати| |существует двойной |

|равенство | |D, но уже криволинейными. | |интеграл и существует |

|[pic]=[pic] (2) | |Будем предпологать, что | |одномерный интеграл |

|f(x,y)(Д. | |функции x(U,V) и y(U,V) | |[pic] |

|Док-во: Пусть во всей | |имеют непрерывные частные | |то существует повторный |

|области Д вып. Равенство | |производные по своим | |[pic] |

|(2) и Г произвольная | |переменным x’y и y’x, x’v и| |Если же функция f(x;y) |

|простая замкнутая кривая | |y’v, тогда определитель | |такова, что существует |

|принадлеж. области Д. | |функции имеет вид: | |двойной интеграл по |

|Обознач. Через обл. Д1 | | | |области R, существуют оба|

|кот. огранич. Эта кривая | |Принято называть якобианом | |од- номерных J(y) и |

|Г. Применим к этой | |для функций x(U,V) и | |?(x), то одновременно |

|области формулу Грина: | |y(U,V). | |имеют место формулы (1) и|

|[pic] | |Можно показать,что площадь | |(2) |

|[pic] | |области D задана в | |[pic] |

|Предположим, что интеграл| |плоскости XOY может быть | |Например: если f(x;y) |

|равен нулю, а равенство | |выражена в криволинейных | |непрерывна в области R, |

|(2) не вып. По крайней | |координатах следующим | |то, как известно двойной |

|мере в одной точке (x0 | |образом: | |интеграл, и оба |

|,y0) ( Д | |[pic]- прямолинейном | |одномерных существуют, а |

|[pic] | |интеграле. | |значит, справедлива |

|[pic][pic] | |[pic] | |формула (3) и для |

|[pic] | |в криволинейных | |вычисления двойного |

|F(x0,y0)(0 , т.к. частные| |координатах. | |интеграла можно |

|произв. Непрерывны в обл.| |Замена переменных. | |пользоваться одной из |

|Д, то ф-ция F(x,y) | |Теорема: Пусть Z=f(x) – | |формул (1) или (2), а |

|непрывна в этой обл. , а | |непрерывная функция заданая| |именно выбирая ту или |

|из этого вытекает , т.к. | |в области D и область D | |иную, которая даёт более |

|F(x0,y0)(0, то существует| |является образом области G | |простое решение. |

|окрестность этой точки | |через посредства функций | | |

|такая, что F(x,y)(0 для | |[pic], где функции x(U,V) и| | |

|всех точек лежащих в | |y(U,V) непрерывные и имеют | | |

|нутри окр. (( кот. явл. | |непрер. Частные | | |

|Границей нашей | |производные, тогда | | |

|окружности. | |справедлива след. Формула | | |

|Множество точек леж. В | |замены переменных в двойном| | |

|этой окр. обознач. Д1 и | |интеграле: | | |

|применим к области Д1 | |[pic] | | |

|ф-лу Грина: | |Док-во: Разорвем обл.G | | |

|[pic] | |непер. Кривыми на конечное | | |

|это показывает, что не | |число частичных областей. | | |

|сущ. ни одной точки, где | |Тогда согласно формулам | | |

|бы (2) не выполнялось. | |отображающим область G в | | |

| | |обл. D. Эти кривые обл. G | | |

| | |отображ. В некоторые кривые| | |

| | |обл. D, т.е. обл. D будет | | |

| | |разбита на конечное число | | |

| | |(такое же как и обл. G) | | |

| | |частичных подобластей. | | |

| | |[pic] | | |

| | |Di – подобласти, i=1,2,…,n.| | |

| | | | | |

| | |В каждой обл. Di выберем | | |

| | |т.(x,y)(Di и составим | | |

| | |интегральную сумму Римана | | |

| | |для двойного интеграла от | | |

| | |функции f обл. D. | | |

| | |[pic] | | |

| | |Площадь обл. Di выразим в | | |

| | |криволинейных координатах | | |

| | |[pic] | | |

| | |xi=x(Ui,Vi) | | |

| | |yi=y(Ui,Vi) | | |

| | |[pic] | | |

| | |И того, что интеграл от | | |

| | |функции f(x,y)dxdy сущ., то| | |

| | |( lim (n(f) и этот lim не | | |

| | |зависит от выбора точек в | | |

| | |обл. Di, но тогда в | | |

| | |качестве f(xi,yi) может | | |

| | |быть взята точка [pic] | | |

| | |[pic] | | |

| | | | | |

| | |[pic] | | |

| | |Мы получаем интегральную | | |

| | |сумму Римана для интегр., | | |

| | |что стоит справа формулы | | |

| | |(1), поэтому переходя к lim| | |

| | |в следующем равенстве: | | |

| | |[pic] | | |

| | |получим ф-лу (1), т.к. | | |

| | |суммы стремятся к | | |

| | |соответствующему интегралу.| | |

|7.Независемость | |9.Параметрические ур-я | | |

|криволинейного интегр. от| |поа-ти, касательная | |Билет 12 |

|пути интегрирования. | |плос-ть, нормаль, | |Задача о вычислении |

|Теор.1 и 2. | |направляющие косинусы | |массы пространств-го |

|Теорема 1. Пусть D – | |нормали. | |тела. |

|ограниченная | |Пусть поверхность задана | |Пусть в трехмерном |

|одно-связанная область | |параметрическими | |пространстве задано тело |

|плоскости XOY тогда что | |уравнениями :x=x(U,V) ; | |D, причем в точках |

|бы криволинейный | |y=y(U,V); z=z(U,V) и | |этого тела определены |

|интеграл [pic]- [pic] был| |функции x,y,z непрерывны и | |некоторые массы и |

|равен 0 по любой | |имеют непрерывные частные | |известна плотность |

|замкнутой простой кривой | |произвольные. Рассмотрим | |распределения массы, кот.|

|[pic], где P(x,y) и | |матрицу | |явл-ся ф-цией трех |

|Q(x,y) - непрерывны и | | | |переменных U=((x,y,z). |

|имеют непрерывные частные| |На поверхности берём точки | |Разобьем это прост-ное |

|производные [pic], | |U0(x0,y0,z0) которая | |тело некоторыми гладкими |

|необходимо и достаточно | |является образом (U0,V0) | |пов-ми на конечное число |

|что бы во всех точках | |[pic]. Можно показать, что | |областей D1, D2,…,Dn. В |

|области D было [pic] (2).| |в этом случае уравнение | |каждой области Di |

| | |касательной к плоскости | |произвол. выберем некот. |

|Док-во | |поверхности имеет вид | |точку (((((()( Di. |

|достаточность: Пусть во | |А[pic](x-x0)+B[pic](y-y0)+C| |Плотность массы в этой |

|всех точках обл. D | |[pic](z-z0)=0 .Уравнение | |точке – это (((i((i((i(. |

|выполнено рав-во (2) и | |нормали поверхности [pic]. | |Будем считать, что ф-ция |

|пусть Г произвольная | |Далее введём направляющую. | |( явл-ся непрерывной, а |

|простая замкнутая кривая,| |Пусть поверхность задана | |разбиение достат. мелким |

|принадлежащая области. | |параметрическими | |так, что значения ф-ции |

|Обозначим через D область| |уравнениями и | |внутри области Di не |

|кот-ю ограничивает эта | |(- угол образованный | |слишком отличаються от |

|кривая Г. Применим теперь| |нормалью с направлением | |значений ф-ции ( в |

|к этой области ф-лу | |осью X | |выбранной точке. Т.е. |

|Грина. | |(- угол образованный | |будем считать, что в |

|[pic] | |нормалью с направлением | |области Di плотность |

|Необходимость: | |осью Y | |массы одна и та же и |

|Криволинейный интеграл в | |(- угол образованный | |равна числу (((i((i((i(. |

|любой замкнутой простой | |нормалью с направлением | |Тогда очевидно масса, |

|кривой существует область| |осью Z, | |заключенная в обл. Di , |

|D=0. Покажем, что во всех| |cos ( cos ( cos ( - | |будет равняться |

|точках области D | |называют направляющими | |(((i((i((i(((((V. Тогда |

|выполняется рав-во (2). | |косинусами нормали. Для | |приближенное значение |

|(это доказуется методом | |направляющих косинусов | |массы для всей области |

|от противного). Пусть | |нормали имеет место | |равна (((((i((i((i(((Vi |

|интеграл = нулю, а | |формула: | |Пусть ( - наибольший из |

|рав-во (2) не | |[pic], [pic], [pic]. В | |диаметров Di – тых |

|выполняется, по крайней | |знаменатели стоит двойной | |областей, а тогда масса ,|

|мере, в одной точке | |знак ( и всякий раз | |заключенная в области |

|[pic], т.е. [pic]. Пусть,| |выбирают один из знаков в | |равна m=lim((((((( |

|[pic] так что разность | |зависимости от направления | |(((i((i((i(((((Vi |

|[pic]. Пусть [pic] тогда | |нормали. В случае явного | |Пусть теперь задано |

|[pic]. Т.к. частные | |задания поверхности | |пространств. тело D. В |

|производные [pic] и [pic]| |направляющие вычисляются | |точках этого тела |

|непрерывны в области D, | |[pic], [pic], [pic]. | |определена ф-ция |

|то [pic] непрерывна в | | | |U=f(x,y,z). Разобьем это |

|этой области, а из | | | |тело на конечное число Di|

|непрерывности функций | | | |–тых (i=1,2,3,…). В |

|вытекает что ф-ция [pic],| | | |каждой области Di выберем|

|то существует окрестность| | | |произвол. точку |

|этой точки, принадлежащая| | | |(xi,yi,zi) и составим |

|области D, так что везде| | | |интегральную |

|в этой окрестности [pic]| | | |(n=( ((xi,yi,zi) * (Vi |

|для любой точки лежащей | | | |Если сущ. предел и он |

|внутри кривой. | | | |конечный и он не зависит |

|[pic] кот-я является | | | |от способа деления обл. D|

|границей нашей | | | |на части и выбора точек |

|окрестности [pic] - | | | |(xi,yi,zi) , то этот |

|множество чисел внутри | | | |предел называют тройным |

|[pic]. Применим к [pic] | | | |интегралом по обл.D от |

|ф-лу Грина: [pic]. | | | |ф-ции f(x,y,z) |

|Полученное противоречие | | | |lim((((((n=((( f(x,y,z)dx|

|показывает, что не | | | |dy dz Следовательно |

|существует не одной точки| | | |m=(((((x,y,z)dxdydz |

|где бы равенство (2) не | | | |Св-ва тройного интеграла|

|выполнялось. | | | |аналогично св-м двойного |

|Теорема 2 Пусть D есть | | | |интеграла 1) Всякая |

|односвязная область | | | |интегрируемая в обл. D |

|плоскости XOY в этой | | | |ф-ция ограничена в этой |

|области заданы две | | | |области. |

|непрерывные функции | | | |2) Могут быть построены |

|D(x,y) и Q(x,y) имеющие | | | |суммы Дарбу |

|непрерывные частные | | | |верх S(=( Mi * (Vi |

|производные [pic] и [pic]| | | |низ s(=( mi * (Vi |

|; чтоб криволинейный | | | |3) Необходимо и |

|интеграл не зависел от | | | |достаточное условие сущ. |

|пути интегрирования | | | |интеграла |

|[pic]. Необходимо и | | | |lim(((((( S(-s()=0 |

|достаточно чтоб | | | |4) Как и в случае |

|выполнялось равенство | | | |двойного интеграла сущ. |

|[pic](2). | | | |тройной интеграл от любой|

|Док. Не обход. Пусть | | | |непрерывной ф-ции, |

|криволинейный интеграл не| | | |заданной в обл. D. Однако|

|зависит от пути | | | |тройной интеграл сущ. и в|

|интегрирования, а зависит| | | |случае, когда ф-ция |

|от начальной и конечной | | | |f(x,y,z) имеет разрывы |

|точки пути | | | |1-го рода на конечном |

|интегрирования. | | | |числе пов-тей данного |

|Возьмём в области D | | | |тела D. |

|произвольно простую | | | |5)Тройной интеграл |

|замкнутую кривую Г. На | | | |обладает св-вами |

|этой кривой т. А и т. В | | | |линейности и аддетивности|

|Т.к. по условию криво-ный| | | | |

|интеграл не зависит от | | | |(((Dfdx = (((D1fdx + |

|пути интегрирования, то | | | |(((D2 , где D=D1(D2 |

|интеграл по кривым | | | |6)Если сущ. тройной |

|АmB=AnB | | | |интеграл от ф-ции f, то |

|[pic] | | | |сущ. интеграл по модулю |

|[pic] В силу 1-й теоремы | | | |и существует равенство |

|должно выполнятся рав-во | | | |(((((((((((f(dv |

|(2). | | | |Если функция fв области D|

|Док. Достат. Пусть | | | |ограничена какими-то |

|выполняется рав-во (2) . | | | |числами m ( f ( М , то |

|Покажем, что | | | |для тройного интеграла |

|криволенейный интеграл не| | | |справидливо неравенство |

|зависит от пути | | | | |

|интегрирования : | | | |mVd (((( (dv(M VD |

|1-й случай. Берём две | | | |7) Имеет место теорема о |

|произвольные точки | | | |среднем , т.е. если |

|принадлежащие области D и| | | |функция ((x,y,z) |

|соединяем эти точки | | | |не-прерывная в области D |

|непрерывными кривыми | | | |, то справедливо |

|[pic] и [pic], кот-е не | | | |равенство |

|имеют точек | | | |((( (dv ( ( (X0 , Yo , |

|самопересечения. | | | |Z0) |

|Если эти кривые образуют | | | |(X0 , Yo , Z0)(D |

|простой замкнутый контур | | | |Ввычесление тройного |

|без самопересечения и | | | |интеграла по |

|т.к. выполняется рав-во | | | |параллепипеду . |

|(2), то интеграл поэтому | | | |1. Пусть функция ((x , y|

|замкнутому контуру обязан| | | |,z) задана на |

|быть равен 0. [pic] , | | | |параллепипеде R( a ,b ; |

|[pic] т.е. интеграл не | | | |c , d; e, f(. |

|зависит от кривой. | | | |Обозначим через Gи D |

|2-й случай. Пусть [pic] и| | | |прямоугольника D( c , d; |

|[pic] имеют конечное | | | |e, f( и (a,b;c,d( . Тогда|

|число точек | | | |если существует тройной |

|самопересечения | | | |интеграл по параллепипеду|

|[pic] | | | |от функции ((x,y,z) и |

|Будем двигаться от А к C1| | | |существует для любого x |

|в результате получили | | | |из (a,b( двойной |

|контур[pic] и [pic]. | | | |интеграл по |

|Аналогично Для всех | | | |прямоугольнику D |

|остальных случаев. | | | |(( ((x,y,z)dydz то |

|3-й случай. Если кривые | | | |существует |

|пересекаются на счётном | | | |((((dv =(dx((((x,y,z)dydz|

|множестве точек то | | | | |

|интеграл по таким кривым | | | |Если для ( z((e,f( ( (( |

|тоже будут равны между | | | |((x,y,z)dxdy,то ((( (dv =|

|собой ….счётное множество| | | |(dx((((x,y,z)dydz = |

|эквивалентное множеству | | | |((dxdy(((x,y,z) . Если |

|натуральных чисел. | | | |функция ((x,y,z) |

| | | | |непрерывна в области |

| | | | |D,т.е. на параллепипеде ,|

| | | | |то все указаные ранее |

| | | | |интеграмы существует и |

| | | | |имеет [pic] |

| | | | |место вся большая формула|

| | | | |и в последнемравенстве |

| | | | |можно менять местами в |

| | | | |случае непрерывности |

| | | | |функции. |

| | | | |2. Пусть ((x,y,z) задана |

| | | | |в пространстве области G |

| | | | |причем область G |

| | | | |сверху ограниченная |

| | | | |плоскостью z=z2(x,y) |

| | | | |снизу z=z1(x,y),a c боков|

| | | | |ограничена цилиндрической|

| | | | |поверхностью образующая |

| | | | |которой ((OZ. И пусть |

| | | | |проекция этого тела на |

| | | | |плоскость XOY есть |

| | | | |некотокая область D |

| | | | |.Тогда можно показать |

| | | | |,что тройной интеграл по |

| | | | |пространственной области |

| | | | |G может быть вычеслен по |

| | | | |такой формуле |

| | | | |[pic] |

|Продолжение №12 | |Вопрос №10 | |8.Касательная пл-ть к |

|Если теперь обл. D будет | |[pic] | |пов-ти и её ур-е в случае|

|иметь следующее строение.| |Пусть в пространстве | |явного и не явного |

|Пусть обл. D, кот. явл. | |задана поверхность Q, | |задания пов-ти. |

|проэкцией тела на пл-ть | |которая является | |1) не явное. Пусть |

|XOY, ограничена | |гладкой и задана явным | |поверхность задаётся не |

|следующими линиями: | |уравнением z = f(x;y), где| |явным уравнением |

|отрезками прямых x=a и | |(x;y)ЄD. | |F(x,y,z)=0. Эта функция |

|x=b , и кривыми y=(1 (x) | |D является проэкцией | |непрерывна и имеет |

|и y=(2(x). Тогда тройной| |поверхности Q на | |непрерывные частные |

|интеграл: | |плоскость xoy. Будем | |производные. |

|[pic] [pic] | |считать f(x,y) – | | |

|[pic] | |непрерывная со своими | | |

| | |частными производными | | |

| | |[pic]?’?? / ?? ’?? / ?? | |Здесь рисунок. |

| | |?’?? / ?? ’?? / ?? | | |

| | |Требуется вычислить | | |

| | |площадь S заданной | |Зафиксируем любую точку |

| | |поверхности. Разобьем | |M0(x0,y0,z0). Рассмотрим |

| | |область D непрерывными | |кривую проходящую через |

| | |кривыми на конечное | |эту точку. Пусть |

| | |число частичных областей | |уравнение этой кривой |

| | |D1,D2,…,Dn. Возьмем в | |будет x=x(t) y=y(t) |

| | |области Di т.(xi;yi) и | |z=z(t) где [pic]. |

| | |построим цилиндрическое | |Предположим что эти |

| | |тело, в основании | |функции непрерывны и |

| | |которого лежит область | |имеют непрерывные частные|

| | |Di , а образующие | |производные по t . Пусть |

| | |параллельны оси oz. Это | |т. M0 соответствует |

| | |цилиндрическое тело | |значению параметра t=t0 |

| | |вырежет на нашей | |x0=x(t0) y0=y(t0) |

| | |поверхности Q некоторую | |z0=z(t0). Т.е. |

| | |i-тую площадку. Обозначим | |M0(x(t0),y(t0),z(t0))=M0(|

| | |через Mi (xi;yi;zi) точку| |x0,y0,z0) , т.к. кривая Г|

| | |на i-той частичной | |лежит на пов-ти, то она |

| | |поверхности такую, что | |удовлетворяет уравнению |

| | |zi=f(xi;yi), т.е. | |поверхности т.е. |

| | |Mi(xi;yi;z (xi;yi)). Так | |F(x(t),y(t),z(t)) [pic]0,|

| | |как частные производные | |берём производную [pic]. |

| | |p,q-непрерывны, то | |Посмотрим это рав-во в |

| | |поверхность является | |т.M0 т.е. t=t0 получим |

| | |гладкой и в каждой | |[pic]; Введём обозначение|

| | |точке этой поверхности | |через [pic], а через |

| | |существует касательная | |[pic], а так как [pic] то|

| | |плоскость. Проведем теперь| |[pic] проведём через |

| | |касательную плоскость к | |точку М0 любую кривую. из|

| | |поверхности в точке Mi. | |рассмотренных равенств |

| | |Построенное тело на обл.| |заметим, что любые кривые|

| | |Di на этой плоскости Т | |на пов-ти, кот-е являются|

| | |вырежит некоторую | |непрерывными , всегда |

| | |площадку Ti. Eе площадь | |будет выполнятся рав-во |

| | |STi дает некоторое | |[pic] , а это рав-во |

| | |приближение для площади | |показывает что вектор |

| | |куска поверхности, | |[pic] будет ортогонален к|

| | |который вырезается этом | |любому касательному |

| | |цилиндрическим телом. | |вектору , кот-й проходит |

| | |Аналогичным образом | |через эту точку М0, |

| | |поступим с остальными | |значить все касательные s|

| | |областями D1,D2,…,Dn. В | |лежат в одной плос-ти |

| | |результате мы получим | |перпендикулярно к [pic]. |

| | |некоторое приближение для| |Эту плос-ть состоящую из |

| | |площади всей заданной | |касательных векторов |

| | |поверхности. Пусть | |называют касательной |

| | |n | |плоскостью к поверхности |

| | |( n=( STi | |в т. М0, а вектор [pic] |

| | |i=1 | |наз нормальным вектором |

| | |А тогда принято считать,| |плоскости в т. М0. [pic] |

| | |что площадью поверхности | |в случае не явно. Прямая |

| | |является | |проходящая через т. М0 и |

| | |n | |перпендикулярная к |

| | |S=lim ( n=lim ( STi , | |касательной плоскости |

| | | | |поверхности называют |

| | |((0 ((( i=1 | |нормалью поверхности. Но |

| | |где ( - наибольший из | |тогда ур-е прямой |

| | |диаметров площадей Di. | |поверхности проходящую |

| | |Нетрудно показать, что | |через т. М0: [pic]. |

| | |такой предел будет равен| |2) явно. пусть пов-ть |

| | | | |задаётся явным ур-ем |

| | |S=lim (n=(( (1/(cos (()dx | |z=f(x,y), где (x,y)[pic]D|

| | |dy, | |f - ф-ция непрерывна и |

| | |((0 D | |имеет непрерывные частные|

| | |где ( - угол, образованный| |производные. [pic]; |

| | |нормалью к поверхности с| |[pic]; |

| | |осью oz. | |z-f(x,y)=0; F(x,y,z); |

| | |Доказательство: | |[pic] ;[pic]; |

| | |[pic] | |[pic]; |

| | |Через (i обозначим угол,| |[pic]; [pic]; |

| | |который образует | | |

| | |касательную плоскость с | |[pic] это ур-е пов-ти. |

| | |плоскостью xoy. В точке | | |

| | |Mi проводим нормаль к | | |

| | |поверхности. Получаем, что| | |

| | |угол, образованный | | |

| | |касательной плоскостью с | | |

| | |плоскостью xoy равен | | |

| | |углу, образованному | | |

| | |нормалью к поверхности с| | |

| | |осью oz. Площадь Di есть| | |

| | |проекция плоскости Ti , | | |

| | |которая лежит на | | |

| | |касательной плоскости. А | | |

| | |тогда SDi=STi*(cos (i (. | | |

| | |А тогда получаем, что | | |

| | |n n | | |

| | |n | | |

| | |( n=( STi=( SDi / (cos ( i | | |

| | |(=( (1/(cos (i()*SDi . | | |

| | |i=1 i=1 | | |

| | |i=1 | | |

| | |Получили, что данная | | |

| | |сумма является суммой | | |

| | |Римена для такого | | |

| | |двойного интеграла: | | |

| | |(( (1/(cos (()dx dy. | | |

| | |D | | |

| | |Получили , что площадь | | |

| | |поверхности Q , заданной | | |

| | |явным уравнением , | | |

| | |вычисляется по такой | | |

| | |формуле : | | |

| | |SQ=(( (1/(cos (()dx dy. | | |

| | |D | | |

Страницы: 1, 2